"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Функция y = ⁿ√x связывает число x с его корнем n-й степени и обратна степенной функции y = xⁿ на подходящей части её графика. Чётность показателя определяет, при каких x функция существует: для чётного n нужны неотрицательные числа, для нечётного подходят все действительные. Функция корня возрастает, а её график получают отражением графика степенной функции относительно прямой y = x. Эти свойства помогают строить графики, сравнивать функции и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа x — число y, которое при возведении в степень n даёт x: yⁿ = x. Запись ⁿ√x означает число, связанное с этим равенством, а не отдельное действие без проверки результата. Такое определение помогает понимать, какие числа могут быть корнями и как проверять вычисления.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа при чётном n — это неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. Например, √9 = 3, хотя уравнение y² = 9 имеет ещё решение −3. Это различие нужно учитывать, когда корень записывают как функцию: у каждого допустимого аргумента должно быть ровно одно значение.
Функция y = ⁿ√x сопоставляет каждому допустимому x значение его корня n-й степени. Допустимые x зависят от чётности n: при чётном показателе подкоренное число неотрицательно, при нечётном оно может быть любым действительным. Поэтому сначала определяют область определения, а уже затем исследуют функцию.
График функции y = ⁿ√x — множество точек с координатами (x; ⁿ√x). По расположению точек можно определить, где функция возрастает, какие значения принимает и где пересекает оси. График также позволяет находить решения уравнений как абсциссы точек пересечения.
При чётном n степень yⁿ не бывает отрицательной: и положительное, и отрицательное число в чётной степени дают неотрицательный результат. Поэтому из отрицательного x нельзя извлечь корень чётной степени в действительных числах, а область определения функции ограничена условием x ≥ 0. При нечётном n отрицательное число в степени остаётся отрицательным, так что корень существует для любого действительного x.
Функции y = xⁿ и y = ⁿ√x обратны на тех частях графиков, где степенная функция принимает каждое значение только один раз. У обратных функций координаты точек меняются местами, поэтому графики симметричны относительно прямой y = x. При чётном n вся функция y = xⁿ не имеет обратной функции, потому что значения y и −y дают один результат; для построения берут только ветвь y ≥ 0.
При чётном n корень по определению неотрицателен, но это не делает функцию чётной: для чётности понадобилось бы, чтобы вместе с x в область определения входило −x и выполнялось f(−x) = f(x). Область определения здесь состоит только из x ≥ 0, поэтому условие чётности не выполняется. При нечётном n корень из −x равен противоположному корню из x, то есть f(−x) = −f(x); график симметричен относительно начала координат.
Функция корня строго возрастает, потому что соответствующая ветвь y = xⁿ тоже строго возрастает и имеет обратную функцию. Если одному большему значению корня соответствовала бы меньшая степень, это противоречило бы возрастанию степенной функции. Следовательно, при увеличении x увеличивается и ⁿ√x, независимо от того, чётный n или нечётный.
У всех функций y = ⁿ√x есть общие опорные точки: при x = 0 значение равно 0, а при x = 1 — 1. Для сравнения функций с разными n удобно отметить эти точки и учесть области определения и симметрию. Например, √x не существует при x < 0, а ³√x проходит и через отрицательные значения, поэтому графики совпадают не по всей плоскости.
На графиках видно различие корня чётной и нечётной степени: первый начинается в начале координат и лежит в первой четверти, второй продолжается в третью четверть. При этом обе кривые проходят через (1; 1), поскольку 1 в любой степени остаётся единицей. Это помогает проверять построение и оценивать приблизительные значения корня.
Отражение относительно y = x — способ построить график обратной функции, а не просто похожий рисунок. Например, точке (a; aⁿ) на графике степенной функции соответствует точка (aⁿ; a) на графике корня. Для чётного показателя учитывают лишь значения a ≥ 0, иначе отражалась бы часть, которая не соответствует арифметическому корню.
Чем выше показатель, тем иначе меняется скорость роста графика, но монотонность остаётся той же. Сравнивая графики, нельзя переносить свойства одной функции на другую только по внешнему виду: сначала проверяют область определения и учитывают чётность показателя. Общие точки (0; 0) и (1; 1) служат ориентирами, но не означают совпадения графиков.
| Свойство | Чётное n | Нечётное n |
|---|---|---|
| Область определения | [0; +∞) | R |
| Множество значений | [0; +∞) | R |
| Чётность функции и симметрия графика | Не является ни чётной, ни нечётной; график не симметричен | Нечётная; симметрия относительно начала координат |
| Промежутки возрастания | Строго возрастает на [0; +∞) | Строго возрастает на R |
| Наибольшее и наименьшее значения | Наименьшее — 0; наибольшего нет | Наибольшего и наименьшего нет |
| Точки пересечения с осями | (0; 0) | (0; 0) |
Сначала выберите столбец по чётности показателя, затем проверьте область определения и множество значений. Симметрию определяйте по условию чётности функции, а не по знаку её значений. Точка пересечения с обеими осями одна — начало координат.
Нужно отдельно выяснить, какие x допустимы под корнем, и какие ответы может принимать функция. Показатель 4 чётный, поэтому корень должен быть арифметическим и неотрицательным. Так мы не перепутаем ограничение на аргумент с ограничением на значение функции.
Ответ: D = [0; +∞), E = [0; +∞).
У кубического корня показатель нечётный, поэтому область определения — все действительные числа. Чтобы проверить чётность, сравним значения при x и −x, а монотонность и пересечения определим через обратную функцию к y = x³. Такое исследование показывает, как получить свойства без построения множества точек.
Ответ: функция нечётная, строго возрастает на R; пересекает обе оси в точке (0; 0).
Для построения сначала возьмём точки степенной функции y = x⁴ при x ≥ 0 и поменяем координаты местами. Уравнение решим по пересечению графика корня с прямой y = x − 2; решение должно лежать в области x ≥ 0. Правая часть также должна быть неотрицательной, поэтому пересечения ищем при x ≥ 2.
Ответ: график проходит через указанные опорные точки; уравнение имеет одно решение, приблизительно x ≈ 3,35.
Если для функции с чётным корнем указать область определения R, будет пропущено условие неотрицательности подкоренного выражения. Так ошибаются, перенося привычную область определения нечётного корня на все случаи. Проверка простая: подставьте отрицательное значение x — действительного результата не получится.
Уравнение yⁿ = x при чётном n часто считают имеющим только одно решение, потому что смешивают уравнение с арифметическим корнем. Например, y² = 9 имеет решения 3 и −3, а √9 обозначает только 3. Проверьте себя возведением обоих чисел в степень и уточните, идёт ли речь о корне или об уравнении.
Неотрицательность значений при чётном n иногда принимают за чётность функции. Но для чётной функции требуются симметричная относительно нуля область определения и равенство f(−x) = f(x); у ⁿ√x при чётном n отрицательные x не входят в область. Чтобы проверить чётность, сначала проверьте область, затем подставьте −x в формулу.
Ещё одна ошибка — рисовать график корня как график степенной функции. Их связывает обратимость, поэтому график корня получают отражением подходящей ветви относительно y = x, меняя координаты точек местами. Если точка (a; aⁿ) после построения не перешла в (aⁿ; a), график построен неверно.
Для работы с корнями нужны свойства степеней с натуральным показателем и понимание того, что означает равенство yⁿ = x. Эти знания помогают определить область допустимых значений и отличить арифметический корень от всех решений уравнения. Тема также продолжает изучение обратных функций: отражение относительно y = x даёт способ строить графики корней.
Свойства функций корня применяются при исследовании степенных функций и при решении уравнений и неравенств графическим способом. Пересечение графиков показывает решения, а возрастание помогает понять, сколько таких решений возможно. Это связывает преобразования графиков с анализом поведения функций.
Почему при чётном n нельзя извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах?
Степень любого действительного числа с чётным показателем неотрицательна: отрицательное число при возведении в чётную степень тоже даёт положительное. Поэтому равенство yⁿ = x при x < 0 не имеет действительных решений.
Чем арифметический корень отличается от решений уравнения yⁿ = x?
Арифметический корень при чётном n — только неотрицательное число. Например, уравнение y² = 9 имеет два решения, y = 3 и y = −3, но арифметический корень √9 равен 3.
Почему функция корня при нечётном n определена и для отрицательных x?
Нечётная степень сохраняет знак числа: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным. Поэтому для любого отрицательного x найдётся действительное отрицательное y, такое что yⁿ = x.
Как построить график функции y = ⁿ√x по графику y = xⁿ?
Для нечётного n используйте весь график y = xⁿ, а для чётного — его ветвь при y ≥ 0. Отразите выбранную часть относительно прямой y = x: координаты каждой точки поменяются местами.
Почему функция корня возрастает, хотя её график выглядит по-разному при разных n?
При каждом допустимом x увеличение x приводит к увеличению соответствующего значения корня. Это следует из обратной связи с возрастающей ветвью y = xⁿ; форма графика меняется, но порядок значений сохраняется.
§ 5. Функции у = n\/x, их свойства и графики
