"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Корень n-й степени помогает находить число, которое при возведении в степень n даёт заданное значение, и преобразовывать выражения со степенями. Главное — учитывать чётность показателя: при чётном n подкоренное число не может быть отрицательным, а арифметический корень неотрицателен; при нечётном n допустимы любые действительные числа. Эти условия определяют, когда можно перемножать корни, делить их и упрощать выражения вида √[n]{aⁿ}.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корнем n-й степени из числа a называют число x, для которого xⁿ = a. При чётном n такой корень существует в действительных числах только при a ≥ 0, а при нечётном n — при любом a. Определение помогает свести вопрос о корне к уравнению: нужно найти число, которое в степени n даст a.
Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число, n-я степень которого равна неотрицательному подкоренному числу; это понятие используют при чётном n. Например, уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3, но арифметический квадратный корень √9 равен 3. Такое соглашение делает значение знака корня однозначным.
Подкоренным выражением называют выражение, записанное под знаком корня. Его допустимые значения зависят от чётности показателя: под корнем чётной степени оно должно быть неотрицательным, а под корнем нечётной степени может быть любым действительным числом. Проверка этого условия нужна, чтобы понять, имеет ли выражение смысл в действительных числах.
Показатель корня n — натуральное число, которое указывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное число. Например, в √[5]{32} показатель равен 5, потому что 2⁵ = 32. Он определяет и способ вычисления, и ограничения на подкоренное выражение.
Чётность показателя меняет область допустимых значений из-за свойств степеней. Если показатель чётный, то число и его противоположное после возведения в эту степень дают неотрицательный результат: например, 3² = 9 и (−3)² = 9. Поэтому отрицательное число не может оказаться результатом чётной степени действительного числа. При нечётном показателе знак сохраняется: положительное число даёт положительную степень, отрицательное — отрицательную, так что корень существует при любом действительном подкоренном числе.
Свойство корня из произведения следует проверить возведением предполагаемого результата в степень n. Если перемножить √[n]{a} и √[n]{b}, а затем возвести произведение в n-ю степень, получится ab; следовательно, произведение корней является корнем из ab. При чётном n оба исходных корня должны существовать, то есть a ≥ 0 и b ≥ 0. При нечётном n допустимы любые действительные a и b, поскольку корень определён и для отрицательных чисел.
Свойство корня из частного обосновывают так же: n-я степень отношения корней равна отношению подкоренных чисел. Знаменатель исходной дроби и знаменатель под корнем не могут быть нулевыми, поэтому требуется b ≠ 0. Если n чётное, для существования корней дополнительно нужны a ≥ 0 и b > 0: знаменатель подкоренного выражения должен быть положительным. Если n нечётное, достаточно b ≠ 0.
Корень из корня сводится к корню с произведением показателей, потому что последовательное извлечение корней равносильно делению показателя степени сначала на n, а затем на m. Поэтому √[m]{√[n]{a}} = √[mn]{a}, когда все выражения определены. Проверка через возведение результата в степень mn возвращает исходное a. При чётных показателях дополнительно следят за неотрицательностью подкоренных выражений.
Возведение корня в степень упрощают, сопоставляя степени и показатели корня. В частности, при возведении √[n]{a} в степень n получается a, если корень определён; при чётном n это верно для a ≥ 0, а при нечётном — для любого a. В обратном выражении √[n]{aⁿ} нельзя автоматически убрать корень: при чётном n результат неотрицателен и равен |a|, при нечётном знак числа сохраняется и результат равен a.
В таблице собраны основные преобразования; условия рядом с формулами — часть свойства, а не необязательная оговорка.
| Свойство | Условия | Формула |
|---|---|---|
| Корень из произведения | n чётное: a ≥ 0, b ≥ 0; n нечётное: любые a, b | √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab} |
| Корень из частного | b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0, b > 0 | √[n]{a/b} = √[n]{a} / √[n]{b} |
| Корень из корня | Все подкоренные выражения допустимы | √[m]{√[n]{a}} = √[mn]{a} |
| Корень из степени с показателем, кратным n | k — натуральное; при чётном n учитывается знак a | √[n]{aⁿᵏ} = |a|ᵏ при чётном n; aᵏ при нечётном n |
| Возведение корня в натуральную степень | При чётном n: a ≥ 0; при нечётном n: любое a | (√[n]{a})ᵐ = √[n]{aᵐ} |
Перед применением формулы сначала проверь показатель корня, затем допустимость подкоренных выражений и наличие нулевого знаменателя. После преобразования полезно возвести обе части в нужную степень или подставить простые числа, чтобы проверить знак и результат.
Задача 1. Вычислите √[3]{−8} · √[3]{27}. Показатель равен 3, поэтому отрицательное подкоренное число допустимо. Так как показатели корней совпадают, произведение можно объединить под одним знаком корня.
Ответ: −6. Проверка через отдельные корни даёт √[3]{−8} = −2 и √[3]{27} = 3, а их произведение тоже равно −6.
Задача 2. Упростите √[4]{48} / √[4]{3}. Показатели одинаковы, поэтому можно объединить корни в корень из частного. Подкоренные числа положительны, а знаменатель 3 не равен нулю, значит, условия свойства выполнены.
Ответ: 2. В исходном выражении знаменатель не обращается в ноль, а полученное значение подтверждается возведением 2 в четвёртую степень.
Задача 3. Упростите √[6]{(−2)⁶} и √[5]{(−2)⁵}, объяснив различие результатов. В первом случае показатель корня чётный, а во втором — нечётный. Поэтому при упрощении надо отдельно учесть, выбирается ли неотрицательный корень или сохраняется знак исходного числа.
Ответ: первое выражение равно 2, второе — −2. Различие появляется потому, что арифметический корень чётной степени неотрицателен, а корень нечётной степени сохраняет знак.
Ошибка — считать, что корень чётной степени существует и из отрицательного числа. Её допускают, забывая, что чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Проверяйте знак подкоренного выражения: если он отрицателен, действительного корня чётной степени нет.
Неверно записывать √[n]{aⁿ} = a для любого n. При чётном n корень выбирается неотрицательным, поэтому результат равен |a|; при нечётном n он равен a. Для самопроверки возьмите a = −2: формула с модулем даёт 2 при чётном n, а без модуля ошибочно дала бы −2.
Нельзя применять свойство корня из частного, если знаменатель равен нулю. Такое преобразование не исправляет исходное выражение: деление на ноль не определено. До объединения корней отдельно проверьте знаменатель, а при чётном показателе — также допустимость обоих подкоренных выражений.
Переносить множитель под знак корня или выносить его без проверки знака и чётности показателя тоже рискованно. Ошибка появляется, когда забывают, что чётный корень обозначает неотрицательное значение. Сравните полученное выражение с правилом √[n]{aⁿ} = |a| при чётном n и подставьте отрицательное значение множителя для проверки.
Для работы с корнями нужны определение степени с натуральным показателем, свойства степеней и правила действий с дробями. Именно они позволяют обосновывать преобразования возведением в степень и вычислять выражения под знаком корня. Если эти действия знакомы, свойства корней становятся их продолжением с дополнительной проверкой области допустимых значений.
Свойства корней применяют при упрощении выражений и вычислениях, а также при преобразовании степеней с рациональными показателями. Например, корень можно представить как степень с дробным показателем, а затем использовать правила действий со степенями. Условия на знак подкоренного выражения при этом по-прежнему нужно учитывать.
Почему корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным числом?
При возведении любого действительного числа в чётную степень получается неотрицательное число. Поэтому уравнение xⁿ = a при чётном n и a < 0 не имеет действительных решений.
Чем корень n-й степени отличается от арифметического корня?
Корень n-й степени — число, n-я степень которого равна подкоренному числу; при чётном n положительное число имеет два таких корня. Арифметическим называют неотрицательный корень из неотрицательного числа, и именно его обозначают знаком корня чётной степени.
Можно ли перемножать корни с разными подкоренными числами?
Да, если у корней одинаковый показатель и оба корня существуют: их произведение равно корню из произведения подкоренных чисел. При чётном показателе оба подкоренных числа должны быть неотрицательными, а при нечётном ограничений по знаку нет.
Почему √[n]{aⁿ} иногда равно |a|, а не a?
При чётном n результат должен быть неотрицательным, поэтому корень из aⁿ равен |a|. При нечётном n знак сохраняется, и √[n]{aⁿ} = a.
Какие условия нужны, чтобы вынести множитель из-под знака корня?
Нужно проверить, что выражение под корнем допустимо, и учитывать чётность показателя. Для чётного n вынесенная из √[n]{aⁿ} величина становится |a|, а не обязательно a; для нечётного n она равна a.
§ 6. Свойства корня n-й степени
