§ 7. Преобразование иррациональных выражений

Определения и обозначения

Арифметический корень n-й степени из числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Если n чётное, корень существует в действительных числах только при a ≥ 0; если n нечётное, подкоренное число может быть любым действительным. Это определение задаёт главный контрольный признак при работе с корнями: значение корня чётной степени не бывает отрицательным.

Иррациональным называют выражение, в котором переменная находится под знаком корня. Например, √(x + 3) — иррациональное выражение, а √9 — просто число. Для таких выражений особенно важна область допустимых значений (ОДЗ): при чётном корне выражение под ним должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен обращаться в ноль. ОДЗ помогает понять, где исходное выражение вообще имеет смысл.

Вынесение множителя из-под знака корня — представление подкоренного выражения как произведения, один из множителей которого является полной степенью. Например, из √(x²a) можно вынести множитель, связанный с x², если остальные условия позволяют извлечь √a. Так сложный радикал становится проще, но при чётном корне нужно учитывать знак переменной.

Внесение множителя под знак корня заменяет произведение множителя и корня одним радикалом. Для квадратного корня при c ≥ 0 и a ≥ 0 выполняется c√a = √(c²a). Множитель возводят в степень, равную показателю корня; при чётном корне отрицательный множитель нельзя просто внести под радикал без изменения знака выражения.

Как это устроено

Правила корня из произведения и частного следуют из определения: если числа неотрицательны, произведение их квадратных корней при возведении в квадрат даёт произведение исходных чисел. Поэтому √(ab) = √a·√b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Аналогично, при a ≥ 0 и b > 0 верно √(a/b) = √a/√b: квадрат частного корней равен a/b. Условия нужны не формально: отрицательное подкоренное число не имеет арифметического квадратного корня, а делить на ноль нельзя.

Чтобы вынести множитель из-под корня, ищут в подкоренном выражении полный квадрат. Например, если под корнем стоит произведение 36·2, число 36 можно заменить на 6², после чего √(6²·2) = 6√2. Такой шаг возможен потому, что квадрат 6 при извлечении квадратного корня даёт неотрицательное число 6. Если полным квадратом является выражение с переменной, например x², результатом будет |x|, поскольку знак x заранее может быть неизвестен.

При внесении множителя под квадратный корень множитель возводят в квадрат: c√a = √(c²a), когда c ≥ 0 и a ≥ 0. Причина в том, что после возведения правой части в квадрат получается c²a — то же число, что и квадрат произведения c√a. Если c < 0, выражение c√a отрицательно, а арифметический корень справа неотрицателен; равенство без дополнительного знака уже невозможно. Поэтому перед таким преобразованием проверяют знак множителя.

Упрощая корни с переменными, нельзя забывать, что корень чётной степени выбирает неотрицательное значение. Числа x и −x имеют один и тот же квадрат, но только одно из них обязательно неотрицательно, поэтому √(x²) = |x|. Если известно, что x ≥ 0, модуль можно заменить на x; если x < 0, |x| = −x. При неизвестном знаке модуль необходимо оставить.

Чтобы убрать радикал из знаменателя, дробь домножают на подходящее выражение. Если в знаменателе разность корней, используют сопряжённое выражение: (√a − √b)(√a + √b) = a − b. Домножение и числителя, и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель не меняет дробь, потому что фактически она умножается на 1. Нужно также убедиться, что исходный знаменатель и новый знаменатель не равны нулю.

Основные преобразования выражений с радикалами

Сначала проверь условия в третьем столбце, затем выбери нужное правило. После преобразования полезно проверить, что область допустимых значений и значение выражения не изменились.

Разбор задач

Упростить выражение √72

Нужно выделить из 72 наибольший удобный полный квадрат. Это позволит извлечь часть корня и оставить под радикалом только остаток.

1. Разложим 72 на множители: 72 = 36·2. Здесь 36 — полный квадрат, а 2 остаётся под корнем.
2. Применим правило корня из произведения: √72 = √36·√2. Оба подкоренных числа неотрицательны, поэтому преобразование допустимо.
3. Извлечём корень из 36: √36 = 6, значит √72 = 6√2. Проверка: (6√2)² = 72, и полученное значение положительно.

Ответ: 6√2.

Упростить выражение √(x²) при условии x < 0

Здесь под корнем стоит квадрат переменной, а знак переменной известен. Корень чётной степени нужно записать неотрицательным, поэтому сначала используем формулу с модулем, а затем применяем условие.

1. По общему правилу √(x²) = |x|. Это верно при любом действительном x, поскольку |x| неотрицателен и его квадрат равен x².
2. Так как x < 0, модуль отрицательного числа равен противоположному числу: |x| = −x.
3. Следовательно, √(x²) = −x. Например, при x = −3 корень равен 3, как и −x.

Ответ: −x.

Преобразовать дробь 1/(√5 − √2), устранив радикал в знаменателе

Знаменатель — разность двух корней, поэтому удобно умножить дробь на сумму тех же корней. Сначала проверим, что исходный знаменатель не равен нулю: √5 и √2 различны, значит √5 − √2 ≠ 0.

1. Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √5 + √2. Чтобы значение дроби не изменилось, домножаем обе части на одну и ту же дробь (√5 + √2)/(√5 + √2), равную 1.
2. В знаменателе используем формулу разности квадратов: (√5 − √2)(√5 + √2) = 5 − 2 = 3. Новый знаменатель ненулевой.
3. В числителе получаем √5 + √2, поэтому исходная дробь равна (√5 + √2)/3. Радикалов в знаменателе больше нет.

Ответ: (√5 + √2)/3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √(x²) = x при любом x. Так поступают, забывая, что арифметический корень неотрицателен, тогда как x может быть отрицательным. Проверка: возьми x = −2 — корень равен 2, а не −2; общее правило записывается как √(x²) = |x|.

Ошибка: раскрывать корень суммы как сумму корней. Свойства произведения и частного нельзя переносить на сложение: например, √(1 + 3) = 2, а √1 + √3 = 1 + √3. Чтобы проверить подобное преобразование, подставь простые неотрицательные числа и сравни обе части.

Ошибка: выносить множитель из-под корня без проверки его знака. При извлечении квадратного корня из x² получается |x|, поэтому запись √(x²) = x годится только при x ≥ 0. Проверяй знак переменной по условию или оставляй модуль, если знак неизвестен.

Ошибка: домножать на сопряжённое только знаменатель дроби. Тогда значение дроби изменится, ведь её числитель останется прежним. Домножай и числитель, и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель, а затем проверь, что новый знаменатель не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с радикалами нужны определение арифметического корня, свойства степеней и правила преобразования алгебраических дробей. Навык находить ОДЗ и определять знаки переменных помогает выбирать верное правило и не терять ограничения. Эти преобразования применяются при решении иррациональных уравнений и неравенств, а также при вычислении значений выражений. Упрощённая запись часто делает дальнейшие вычисления заметно легче.

Что запомнить

• Подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным.
• Арифметический корень чётной степени неотрицателен.
• √(x²) = |x|, а не всегда x.
• Корень из произведения можно представить как произведение корней при допустимых значениях подкоренных выражений.
• Сумму под знаком корня нельзя раскладывать на сумму корней.
• При устранении радикала в знаменателе домножают дробь на одно и то же ненулевое выражение.