§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме

Определения и обозначения

Мнимая единица i — число, для которого i² = −1. В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому квадратный корень из отрицательного числа нельзя представить действительным числом. Введение i позволяет записывать такие корни: например, √−9 = 3i, поскольку (3i)² = −9.

Комплексным называют число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа. Здесь i — мнимая единица, а a и b — коэффициенты записи. Если b = 0, получаем a + 0i = a, то есть обычное действительное число; значит, действительные числа входят в множество комплексных.

Алгебраическая форма комплексного числа — запись z = a + bi. Число a называют действительной частью и обозначают Re z, а коэффициент b — мнимой частью и обозначают Im z. Такая форма удобна тем, что по записи сразу видны обе части числа и можно выполнять действия отдельно с одноимёнными слагаемыми.

Числа a + bi и a − bi называют сопряжёнными. У них совпадают действительные части, а коэффициенты при i отличаются знаком; обычно сопряжённое к z обозначают z̄. Их произведение (a + bi)(a − bi) = a² + b² — действительное число, так как слагаемые с i сокращаются, а i² заменяется на −1.

Как это устроено

Из равенства i² = −1 последовательно получаем i³ = i² · i = −i и i⁴ = i² · i² = 1. После этого степени повторяются: умножение на i⁴ не меняет результат, поэтому iⁿ зависит только от остатка n при делении на 4. Так значения для целых неотрицательных степеней идут по кругу: 1, i, −1, −i. Например, чтобы найти i¹⁷, достаточно заметить, что 17 при делении на 4 даёт остаток 1, значит, i¹⁷ = i.

Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты при i. Действительно, равенство a + bi = c + di можно переписать как (a − c) + (b − d)i = 0. Единственный способ получить ноль в такой записи — чтобы обе части были нулевыми: a − c = 0 и b − d = 0. Это правило позволяет проверять равенство и находить неизвестные коэффициенты.

При сложении складывают действительные части между собой, а коэффициенты при i — отдельно: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. При вычитании действует тот же принцип, только соответствующие части вычитают: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i. Основание в том, что i — общий множитель мнимых слагаемых, поэтому их коэффициенты можно привести как подобные слагаемые. Например, (2 + 3i) − (5 + i) = −3 + 2i.

Чтобы умножить числа, раскрывают скобки по распределительному закону, а затем заменяют i² на −1. В выражении (a + bi)(c + di) получаются слагаемые ac, adi, bci и bd·i². Первое и последнее дают действительную часть ac − bd, а два средних — мнимую часть (ad + bc)i. Поэтому формула имеет вид (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

При делении нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для знаменателя c + di берут сопряжённое c − di: их произведение равно c² + d², потому что смешанные слагаемые сокращаются. Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число не меняет её значения, поэтому умножают на (c − di)/(c − di). Если c + di не равно нулю, то c² + d² ≠ 0, и получившийся знаменатель действителен.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Сначала определите нужное действие, затем подставьте действительные числа вместо букв в формуле. При умножении и делении отдельно следите за знаками, возникающими из i² = −1. Результат удобно проверить, приведя его к виду x + yi и убедившись, что знаменатель при делении действителен.

Разбор задач

Задача 1. Для z = −3 + 5i укажите действительную и мнимую части и запишите число, сопряжённое z.

1. Сравним запись с алгебраической формой z = a + bi. Действительная часть — число перед слагаемым с i, поэтому Re z = −3.
2. Коэффициент при i равен 5, следовательно, Im z = 5. Мнимой частью является именно коэффициент, а не всё слагаемое 5i.
3. При сопряжении действительную часть оставляем, а знак коэффициента при i меняем на противоположный. Получаем −3 − 5i.

Ответ: Re z = −3, Im z = 5; сопряжённое число — −3 − 5i. Проверка: у исходного и сопряжённого чисел одинаковая действительная часть, а мнимые части противоположны.

Задача 2. Вычислите (2 − 3i) + (−4 + i) и (2 − 3i)(−4 + i).

1. При сложении сгруппируем действительные части: 2 + (−4) = −2. Коэффициенты при i дадут −3 + 1 = −2, поэтому сумма равна −2 − 2i.
2. Для произведения раскроем скобки: 2·(−4) + 2·i + (−3i)·(−4) + (−3i)·i. Здесь учтены все четыре произведения слагаемых.
3. Вычислим слагаемые: −8 + 2i + 12i − 3i². Так как i² = −1, последнее слагаемое равно 3, и выражение становится −8 + 14i + 3.
4. Соберём действительную и мнимую части. Получим 14 + 14i.

Ответ: сумма равна −2 − 2i, произведение равно 14 + 14i. В произведении действительная часть получилась из −8 и 3, а мнимая — из 2i и 12i.

Задача 3. Вычислите (3 + 2i)/(1 − 2i) и представьте ответ в алгебраической форме.

1. Сопряжённое знаменателю 1 − 2i число — 1 + 2i. Умножим на него и числитель, и знаменатель, чтобы значение дроби не изменилось, а знаменатель стал действительным.
2. В знаменателе получаем (1 − 2i)(1 + 2i) = 1² + 2² = 5. В числителе раскрываем скобки: (3 + 2i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 2i + 4i².
3. Заменим i² на −1: числитель равен 3 + 8i − 4 = −1 + 8i. Теперь разделим каждую часть числителя на 5.

Ответ: (−1 + 8i)/5 = −1/5 + (8/5)i. Проверка формы: действительная и мнимая части представлены отдельными слагаемыми, а в знаменателе дроби больше нет комплексного числа.

Типичные ошибки

Мнимой частью числа a + bi иногда называют bi. Это слагаемое содержит мнимую единицу, поэтому его легко принять за ответ, но по принятому обозначению Im(a + bi) = b. Чтобы проверить себя, отделите коэффициент от i: у числа 2 − 7i мнимая часть равна −7.

Другая ошибка — считать i² равным 1 или обращаться с i как с обычной переменной, не используя заданное свойство. Такое вычисление меняет знак действительной части произведения. При проверке отдельно выпишите члены с i² и замените каждый на −1 до приведения подобных слагаемых.

При умножении можно забыть одно из произведений при раскрытии скобок или неверно вычислить член с i². Ошибку допускают, когда сразу пытаются применить формулу, не видя, откуда взялись её части. Проверьте, что для двух двучленов получено четыре произведения и что действительная часть равна ac − bd.

Нельзя делить действительные и мнимые части числителя и знаменателя по отдельности, как если бы комплексная дробь распадалась на две обычные. Такой способ не следует из правил деления и обычно даёт неверный ответ. Используйте сопряжённое знаменателю число, а затем проверьте, что знаменатель стал действительным и ненулевым.

Связь с другими темами

Для вычислений с комплексными числами нужны знакомые действия с действительными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Комплексные числа позволяют записывать корни квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, например когда под корнем появляется отрицательное число. Алгебраическая форма служит основой для перехода к комплексной плоскости и тригонометрической форме, а также для изучения извлечения корней из комплексных чисел.

Что запомнить

• Алгебраическая форма комплексного числа: z = a + bi.
• Для мнимой единицы i² = −1.
• Re(a + bi) = a, Im(a + bi) = b.
• Равные комплексные числа имеют равные действительные и мнимые части.
• При умножении комплексных чисел используют равенство i² = −1.
• Произведение числа и сопряжённого ему равно a² + b².
• Для деления на ненулевое комплексное число умножают числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю.