§ 1. Вычисление вероятностей

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но множество возможных результатов можно описать. Например, при броске кубика нельзя заранее знать выпавшее число, однако возможны только значения от 1 до 6. Это понятие помогает отделить случайные ситуации от тех, где результат заранее определён.

Элементарный исход — один из возможных результатов опыта. Например, результат «выпало 4» — отдельный исход при броске кубика; исходы равновозможны, если у каждого одинаковый шанс наступить. Это уточнение нужно, чтобы понять, можно ли применять классическую формулу вероятности.

Событие — условие, которое может выполниться или не выполниться в результате опыта; его представляют как множество исходов. Например, событие «выпало чётное число» включает исходы 2, 4 и 6. Представление события множеством позволяет точно выделить результаты, подходящие условию.

Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. Для конечного набора равновозможных исходов её находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов: P(A) = m/n. Такая запись переводит описание события в вычисление, если заранее проверены условия применения формулы.

Как это устроено

Сначала составляют пространство исходов — множество всех результатов, которые могут получиться в опыте, — а затем отмечают среди них благоприятные событию. Например, при броске кубика для события «выпало больше четырёх» подходят исходы 5 и 6. Полный перечень нужен, чтобы ни один результат не потерялся и не был посчитан дважды.

Когда все исходы равновозможны, каждый занимает одинаковую долю общего набора результатов. Если всего исходов n, а событию подходят m из них, то вероятность равна m/n: это доля исходов, при которых событие происходит. Поскольку 0 ≤ m ≤ n, отношение всегда лежит от 0 до 1: ноль означает невозможное событие, единица — достоверное.

Противоположное событие «не A» включает ровно те исходы, которые не входят в A, поэтому вместе эти события охватывают всё пространство исходов. Следовательно, P(A) + P(не A) = 1, откуда P(A) = 1 − P(не A). Приём особенно удобен, если проще посчитать случаи, когда событие не происходит, например отсутствие попаданий за несколько выстрелов.

Несовместные события не имеют общих исходов: один результат не может одновременно оказаться благоприятным для обоих. Поэтому при подсчёте исходов для их объединения можно сложить числа благоприятных исходов без повторов; отсюда P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Если события могут произойти одновременно, простое сложение посчитает общие случаи дважды.

Для независимых событий наступление одного не меняет вероятность другого, поэтому вероятность их совместного наступления равна произведению: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Например, при независимых повторных испытаниях вероятность заданного результата в каждом испытании перемножают. Независимость не означает несовместность: независимые события могут наступить вместе, тогда как несовместные вместе не наступают.

Основные способы вычисления вероятностей

Сначала определите, какие события и исходы рассматриваются, затем проверьте условие в третьем столбце. Выбирайте формулу только после этой проверки: одинаковое внешне действие может требовать разных правил в зависимости от связей между событиями.

Разбор задач

Шары в урне

В урне 5 красных и 3 синих шара. Наудачу вынимают один шар. Найдём вероятность вынуть красный, считая, что каждый шар имеет одинаковый шанс быть выбранным.

1. Определим число элементарных исходов: можно вынуть любой из 8 шаров, поскольку 5 + 3 = 8. Каждый отдельный шар считаем исходом.

2. Выделим благоприятные исходы: красными являются 5 шаров. Так как все шары выбираются наудачу, исходы равновозможны и применима классическая формула.

3. Разделим число благоприятных исходов на общее число: P = 5/8 = 0,625. Это вероятность вынуть красный шар.

Ответ: 5/8.

Сумма на двух кубиках

Два игральных кубика бросают одновременно. Требуется найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Хотя кубики бросают одновременно, исходы удобно записывать упорядоченными парами: первое число относится к первому кубику, второе — ко второму.

1. У каждого кубика 6 возможных значений, поэтому всего упорядоченных пар 6 · 6 = 36. При правильных кубиках эти пары равновозможны.

2. Перечислим пары с суммой 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Пары (2; 6) и (6; 2) различаются, потому что значения выпали на разных кубиках.

3. Благоприятных исходов 5 из 36. Поэтому вероятность равна 5/36.

Ответ: 5/36.

Хотя бы одно попадание

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Стрелок делает три независимых выстрела. Найдём вероятность хотя бы одного попадания, считая, что исход одного выстрела не влияет на исход другого.

1. Прямой подсчёт потребовал бы рассмотреть исходы с одним, двумя и тремя попаданиями. Вместо этого рассмотрим противоположное событие — ни одного попадания.

2. Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,7 = 0,3. Из-за независимости выстрелов вероятность промахнуться три раза равна 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,027.

3. События «хотя бы одно попадание» и «ни одного попадания» противоположны. Поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,027 = 0,973.

Ответ: 0,973.

Типичные ошибки

Применять отношение благоприятных исходов к общему числу без проверки равновозможности — значит использовать формулу вне её условий. Часто это делают, потому что исходы перечислены и кажется, что этого достаточно. Проверьте, одинаков ли шанс каждого исхода; если нет, простой подсчёт не подходит.

При подсчёте можно забыть, что порядок результатов различает исходы, или, наоборот, несколько раз учесть один и тот же результат. Ошибка возникает, когда описание опыта заменяют удобным, но неравносильным ему перечнем. Сверьте каждый пункт с конкретным результатом опыта и проверьте, что все исходы перечислены ровно один раз.

Складывать вероятности событий напрямую можно не всегда: при пересечении событий общий случай будет учтён дважды. Так поступают, когда путают разные события с несовместными. Перед сложением выясните, могут ли они произойти одновременно; если могут, простая формула суммы неприменима.

Считать события независимыми лишь потому, что они различны или относятся к разным испытаниям, недостаточно. Такая догадка может не учитывать влияние результата одного испытания на другое. Проверьте условия опыта: должны быть основания утверждать, что вероятность одного события не меняется из-за наступления другого.

Связь с другими темами

Для вычисления вероятностей нужны навыки подсчёта конечных множеств: важно уметь перечислять исходы и не терять различия между ними. Также необходимо понимать равновозможность, иначе нельзя обоснованно применять отношение числа благоприятных исходов к общему числу.

Эти правила становятся основой для более сложных тем. Условная вероятность учитывает дополнительную информацию о результате, схема Бернулли описывает серию независимых испытаний, а математическое ожидание связывает возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Что запомнить

• Вероятность события находится между 0 и 1.
• Для равновозможных исходов вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность исходного.
• Вероятности несовместных событий можно складывать.
• Вероятности независимых событий при совместном наступлении перемножают.
• Перед вычислениями нужно точно определить исходы и условия применимости правила.