2. Некоторые тождества для степенной функции

Определения и обозначения

Степенная функция — функция вида y = xᵃ, где a — постоянный показатель. Если показатель целый неотрицательный, x можно брать любым действительным числом; для отрицательного целого показателя нужно исключить x = 0. При дробном показателе область зависит от корня в его знаменателе: например, √x требует x ≥ 0, а корень нечётной степени определён и при отрицательных x.

Степень с рациональным показателем задают через корни и целые степени: например, xᵐ⁄ⁿ связывают с корнем n-й степени из xᵐ. При чётном n подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а при отрицательном показателе сама степень не должна обращаться в ноль. Эти условия нужны, чтобы выражение имело значение в действительных числах.

Степень с иррациональным показателем — степень положительного числа, определяемая как предел рациональных степеней, показатели которых приближаются к данному иррациональному числу. Например, a^√2 получают как предел aʳ при рациональных r, стремящихся к √2. Такое определение позволяет распространить понятие степени за пределы целых и дробных показателей.

Тождество степеней — равенство выражений со степенями, верное при указанных условиях на основания и показатели. Например, aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ справедливо для a > 0 и действительных x, y. Условия — не формальность: вне них одна из частей равенства может быть не определена.

Как это устроено

Чтобы определить степень положительного числа с любым действительным показателем x, используют экспоненту: aˣ = exp(x ln a). Это естественный выбор, потому что логарифм переводит умножение в сложение, а экспонента возвращает полученное число. Положительность основания необходима: ln a существует в действительных числах только при a > 0.

Для произведения степеней получаем aˣ · aʸ = exp(x ln a) · exp(y ln a). По свойству экспоненты произведение равно exp((x + y) ln a), а это и есть aˣ⁺ʸ. В частном экспоненты делятся, поэтому их показатели вычитаются: aˣ / aʸ = exp((x − y) ln a) = aˣ⁻ʸ. Так объясняется, почему при делении не складывают показатели.

Если сначала возвести a в степень x, а затем результат — в степень y, то (aˣ)ʸ = exp(y ln(aˣ)). При a > 0 имеем ln(aˣ) = x ln a, поэтому получается exp(xy ln a) = aˣʸ. Именно поэтому показатели перемножаются. Положительное основание позволяет применить логарифм и к внутренней степени, и к результату.

Степень произведения также следует из логарифма: ln(ab) = ln a + ln b. Поэтому (ab)ˣ = exp(x ln(ab)) = exp(x ln a) · exp(x ln b) = aˣbˣ. Для частного используют ln(a/b) = ln a − ln b и получают (a/b)ˣ = aˣ/bˣ. При действительном показателе основания a и b должны быть положительными, иначе логарифмы не определены в действительных числах.

При преобразовании выражения выбирают тождество, которое упрощает показатели или основание, и проверяют его условия. Например, одинаковые основания позволяют сложить показатели при умножении, а степень произведения — разделить на степени множителей. Затем сохраняют ограничения исходного выражения: если в знаменателе стояла переменная, её нельзя приравнять к нулю даже после сокращения.

Тождества для степеней с действительными показателями

В таблице собраны правила и условия их применения. Чтобы выбрать нужное, сначала сравните основания и посмотрите, какое действие выполняется: умножение, деление или возведение в степень. Если основание не удовлетворяет условию, нельзя автоматически использовать соответствующее тождество для действительных показателей.

Разбор задач

Условие: упростите выражение 5^(2/3) · 5^(1/3). Оба множителя имеют одно и то же положительное основание, поэтому подходит тождество произведения степеней с одинаковым основанием. Здесь можно сложить показатели, а затем вычислить полученную степень.

1. Сравним основания: в обоих множителях основание равно 5.
2. Применим правило aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ: 5^(2/3) · 5^(1/3) = 5^(2/3 + 1/3).
3. Сложим дроби: 2/3 + 1/3 = 1, значит, получаем 5¹ = 5.

Ответ: 5. Основание положительно, поэтому правило для действительных показателей применимо. Сложение показателей здесь связано именно с умножением степеней.

Условие: упростите (x^(3/4))² при x > 0. Внешняя степень возводит в квадрат уже имеющуюся степень, значит, нужно перемножить показатели. Условие x > 0 обеспечивает допустимость степеней с действительными показателями.

1. Запишем квадрат как степень с показателем 2: (x^(3/4))² = (x^(3/4))².
2. Применим правило (aˣ)ʸ = aˣʸ: показатель станет (3/4) · 2 = 3/2.
3. Получаем x^(3/2). При желании эту степень можно записать как √(x³) или x√x, поскольку x > 0.

Ответ: x^(3/2), или x√x. Нельзя перемножать показатель основания с внешней степенью иначе, чем по правилу «показатель на показатель». Условие на x позволяет выполнить преобразование в действительных числах.

Условие: упростите (8x⁶)^(1/3) / x при x > 0 и выясните, зачем здесь следить за ограничениями. Поскольку показатель 1/3 соответствует кубическому корню, числитель можно представить как кубический корень из произведения. После упрощения числителя остаётся проверить, можно ли делить на x.

1. При x > 0 распределим кубический корень по множителям: (8x⁶)^(1/3) = 8^(1/3) · (x⁶)^(1/3).
2. Вычислим степени: 8^(1/3) = 2, а (x⁶)^(1/3) = x², поэтому числитель равен 2x².
3. Разделим на x: 2x² / x = 2x. Деление допустимо, так как по условию x > 0.

Ответ: 2x при x > 0. Если забыть ограничение и подставить x = 0, исходная дробь не определена: в знаменателе стоит x. При x < 0 конкретное выражение также упрощается до 2x, поскольку корень кубический определён и для отрицательных чисел; однако правило для действительных показателей нельзя без проверки распространять на отрицательные основания.

Типичные ошибки

• Применять тождества к отрицательному основанию при любом действительном показателе. Так делают, перенося правила для целых степеней на все случаи, но некоторые действительные степени отрицательного числа не определены. Проверьте, что основание положительно, прежде чем использовать правило без дополнительных оговорок.
• Считать, что (aˣ)ʸ = aˣʸ при любых основаниях и показателях. Ошибка возникает из-за запоминания формулы без условий; при отрицательном основании внутренняя или внешняя степень может не иметь действительного значения. Для действительных x и y убедитесь, что a > 0.
• При делении степеней с одинаковым основанием складывать показатели. Часто правило путают с правилом для произведения, хотя в частном один множитель фактически вычитается. Проверка: aˣ / aʸ = aˣ · a⁻ʸ = aˣ⁻ʸ.
• После упрощения забывать область определения исходного выражения. Сокращение может создать впечатление, что допустимы значения, при которых исходная дробь не существовала. Сверьте ограничения с первоначальной записью и укажите их в ответе.

Связь с другими темами

Для понимания степеней с рациональными показателями нужны свойства степеней с целыми показателями и понятие корня n-й степени. Определение степеней с действительными показателями опирается на свойства логарифма и экспоненты, поэтому важно уметь ими пользоваться. Тождества степеней применяются при преобразовании выражений и решении показательных уравнений. Они также помогают изучать показательную функцию и её свойства.

Что запомнить

• Для действительных показателей основание степени должно быть положительным.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Степень произведения равна произведению степеней множителей при допустимых основаниях.
• Перед преобразованием проверь условия применимости тождества и область определения.