"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Симметрический многочлен сохраняет значение, если переставить его переменные. Такие выражения удобно описывать через элементарные симметрические многочлены — суммы переменных, их попарных произведений и произведений большего числа переменных. Основная теорема утверждает, что любой симметрический многочлен единственным образом выражается через них. Это позволяет преобразовывать выражения и находить значения функций от корней уравнения с помощью коэффициентов, не вычисляя сами корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Симметрический многочлен — многочлен от нескольких переменных, который не меняется при любой перестановке этих переменных. Например, x² + y² + 3xy сохраняется при обмене x и y. Понятие нужно, чтобы распознавать выражения, значение которых зависит от набора переменных, но не от их порядка.
Элементарные симметрические многочлены строятся как суммы всех произведений переменных, взятых по одному, по два, по три и так далее. Для n переменных k-й такой многочлен обозначают eₖ: это сумма произведений всех возможных наборов из k различных переменных; e₁ = x₁ + … + xₙ, а eₙ = x₁…xₙ. Эти выражения служат основными «строительными блоками» для симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах утверждает: любой симметрический многочлен единственным образом представляется как многочлен от элементарных симметрических многочленов. Иначе говоря, его можно переписать через e₁, e₂ и следующие eₖ, причём результат такого представления определён однозначно. Теорема позволяет заменять выражение от многих переменных выражением от более удобных величин.
Чтобы проверить симметричность, переставляют переменные и сравнивают результат с исходным. Для двух переменных достаточно одного обмена, а для большего числа можно последовательно проверять соседние пары: первую со второй, вторую с третьей и так далее. Причина в том, что любую перестановку можно выполнить серией таких соседних обменов, поэтому сохранение при каждом из них означает сохранение при любой перестановке.
При двух переменных элементарные выражения — e₁ = x₁ + x₂ и e₂ = x₁x₂. Обмен переменных не меняет сумму и произведение, поэтому оба выражения симметричны. Для трёх переменных получаем сумму всех переменных, сумму трёх попарных произведений и общее произведение; при перестановке слагаемые только меняются местами. Именно включение всех возможных наборов одного размера обеспечивает симметричность каждого eₖ.
Более сложное симметрическое выражение можно построить, складывая и перемножая элементарные. Например, при двух переменных (x + y)² − 2xy = x² + y²: достаточно раскрыть квадрат и сократить 2xy. Правая часть исходно задана через квадраты переменных, а после преобразования — через сумму и произведение. Такой приём удобен, когда известны значения элементарных выражений, но сами переменные неизвестны.
Основная теорема гарантирует, что для симметрического многочлена переход к элементарным выражениям всегда возможен. Единственность означает, что после представления через e₁, e₂ и остальные элементы нельзя получить другую отличающуюся запись-многочлен от них. Это не означает, что исходные переменные можно восстановить по одним значениям eₖ во всех задачах; теорема говорит именно о представлении многочлена. Благодаря ей поиск преобразования становится систематическим, а не случайным подбором тождеств.
Если переменные — корни многочлена, элементарные симметрические выражения связаны с его коэффициентами формулами Виета. Для уравнения x³ + ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −a, сумма попарных произведений равна b, а произведение корней равно −c. Знаки чередуются из-за раскрытия произведения (x − x₁)(x − x₂)(x − x₃): каждый следующий набор корней входит с противоположным знаком. Поэтому симметрическое выражение от корней часто вычисляют по коэффициентам, не решая уравнение.
| Число переменных | Элементарные симметрические многочлены | Связь с коэффициентами многочлена |
|---|---|---|
| Две переменные | e₁ = x₁ + x₂, e₂ = x₁x₂ | Для корней квадратного многочлена e₁ = −a₁, e₂ = a₂ в записи x² + a₁x + a₂ |
| Три переменные | e₁ = x₁ + x₂ + x₃, e₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃, e₃ = x₁x₂x₃ | Для корней x³ + a₁x² + a₂x + a₃: e₁ = −a₁, e₂ = a₂, e₃ = −a₃ |
| Корни многочлена | eₖ — сумма произведений всех наборов из k различных корней | В разложении на линейные множители знаки при e₁, e₂ и далее чередуются |
Сначала выберите строку по числу переменных, а затем найдите нужное eₖ — сумму произведений соответствующего размера. Если переменные являются корнями уравнения, используйте третий столбец и учитывайте чередование знаков. Запись уравнения в виде многочлена с единичным старшим коэффициентом делает связь с формулами Виета наиболее наглядной.
Задача 1. Определить, является ли x² + y² + 3xy симметрическим многочленом. В нём встречаются обе переменные, но одного этого недостаточно для вывода. Проверим, изменится ли выражение после обмена x и y.
Ответ: многочлен симметрический. Проверка сработала, потому что здесь только две переменные и их единственная нетривиальная перестановка — обмен местами. Для большего числа переменных пришлось бы обосновать сохранение при всех нужных обменах.
Задача 2. Выразить x² + y² через элементарные симметрические многочлены x + y и xy. Обозначим их e₁ = x + y и e₂ = xy. Нужно преобразовать сумму квадратов так, чтобы в записи остались только e₁ и e₂.
Ответ: e₁² − 2e₂. При преобразовании важно не забыть вычесть два произведения xy: именно оно появляется в квадрате суммы дважды. Полученное выражение симметрично и записано через элементарные многочлены.
Задача 3. Найти сумму квадратов корней уравнения x³ − 4x² + 5x − 2 = 0, не вычисляя корни. Обозначим корни x₁, x₂, x₃; требуется найти x₁² + x₂² + x₃². Для этого достаточно выразить сумму корней и сумму их попарных произведений по коэффициентам.
Ответ: сумма квадратов корней равна 6. Самих корней искать не пришлось: требуемое выражение симметрично и было переведено в элементарные симметрические многочлены. Их значения сразу считываются из коэффициентов уравнения по формулам Виета.
Проверяют только один обмен переменных и объявляют выражение симметрическим при любом их числе. Такой вывод не следует из одной проверки: другие переменные могут входить в выражение иначе. Чтобы проверить себя, убедитесь, что выражение сохраняется при обмене каждой пары соседних переменных; эти обмены составляют любую перестановку.
Считают симметрическим всякий многочлен, в котором присутствуют все переменные. Наличие переменных не гарантирует неизменности выражения: например, x + 2y после обмена превращается в y + 2x. Подставьте переставленные переменные и сравните результат с исходным; именно совпадение, а не состав выражения, определяет симметричность.
Путают элементарные симметрические многочлены с суммами степеней, например x₁² + x₂². Эти выражения различны по построению, хотя между ними могут быть тождества: сумма квадратов выражается через квадрат суммы и произведение. Для самопроверки посмотрите, берутся ли произведения различных переменных по всем наборам одного размера; если переменные возводятся в степени, это не определение элементарного многочлена.
В формулах Виета теряют знак при коэффициентах. Ошибка возникает, когда формулу вспоминают по отдельным примерам, не сверяя её с разложением на множители. Запишите многочлен как произведение (x − x₁)…(x − xₙ) и проверьте знаки: при переходе от e₁ к e₂, затем к e₃ они чередуются.
Для преобразований понадобятся раскрытие скобок, действия с многочленами и тождества сокращённого умножения: с их помощью выражение переводят к элементарным симметрическим многочленам. Формулы Виета связывают тему с решением уравнений, но позволяют находить значения выражений от корней и без решения. Представление через элементарные симметрические многочлены полезно при преобразовании алгебраических выражений и изучении многочленов от корней. Поэтому навык узнавать симметрию сокращает вычисления и помогает использовать коэффициенты уравнения.
Как быстро проверить, является ли многочлен симметрическим?
Поменяйте переменные местами и сравните полученное выражение с исходным. Для нескольких переменных достаточно проверить обмен каждой пары соседних переменных: такие обмены позволяют выполнить любую перестановку.
Какие многочлены называют элементарными симметрическими?
Это суммы всех произведений переменных, взятых по одному, по два, по три и так далее. Например, для трёх переменных это x₁ + x₂ + x₃, сумма попарных произведений и произведение x₁x₂x₃.
Почему достаточно проверить, что выражение не меняется при перестановке соседних переменных?
Любую перестановку переменных можно выполнить последовательностью обменов соседних переменных. Если выражение сохраняется при каждом таком обмене, то оно сохранится и после всей последовательности.
Всегда ли симметрический многочлен можно выразить через элементарные симметрические многочлены?
Да, это утверждает основная теорема о симметрических многочленах. Более того, представление получается единственным, если рассматривать его как многочлен от элементарных симметрических многочленов.
Как связаны элементарные симметрические многочлены от корней и коэффициенты уравнения?
По формулам Виета они равны коэффициентам многочлена с чередующимися знаками. Поэтому симметрическое выражение от корней часто можно найти по коэффициентам, не решая уравнение.
2. Симметрические многочлены
