§ 2. Системы уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Обычно уравнения записывают друг под другом и объединяют фигурной скобкой. Такая запись показывает, что нельзя выбрать одно условие и отбросить остальные: все они описывают одну задачу.

Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Например, для двух неизвестных решением обычно является пара чисел (x; y), а не одно число. Определение помогает отличить общий ответ от значения, подходящего лишь одному уравнению.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Их уравнения могут выглядеть по-разному, но наборы, удовлетворяющие всем условиям, совпадают. Это понятие нужно, чтобы понимать, когда преобразование системы сохраняет ответы и можно продолжать решение в более удобном виде.

Система неравенств — несколько неравенств с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Её решением служат все значения, подходящие каждому неравенству, а не только одному из них. При одной неизвестной такие значения удобно записывать промежутком или объединением промежутков.

Как это устроено

Решение системы — это общий набор значений, потому что система задаёт несколько условий для одних и тех же неизвестных. Если пара удовлетворяет первому уравнению, но нарушает второе, она не описывает ситуацию, в которой верны все условия задачи. Поэтому множество решений системы получают как общую часть решений отдельных уравнений или неравенств. Для неравенств это буквально пересечение соответствующих множеств.

При подстановке из одного уравнения выражают одну неизвестную через другую и помещают это выражение в оставшееся уравнение. Так две неизвестные связываются одним уравнением, и задачу удаётся свести к уравнению с одной неизвестной. Но в ходе преобразований легко ошибиться или получить значение, не подходящее исходной записи. Поэтому найденное значение подставляют обратно, находят остальные неизвестные и проверяют всю пару в первоначальной системе.

Сложение или вычитание уравнений помогает исключить неизвестную, если её коэффициенты противоположны или их можно такими сделать. Например, при сложении x + y = 7 и x − y = 1 слагаемые y и −y взаимно уничтожаются. Складывать уравнения можно, поскольку из двух верных равенств следует верное равенство их сумм; умножение уравнения на ненулевое число тоже сохраняет его решения. Деление на выражение с неизвестной безопасно не всегда: сначала нужно проверить, что оно не равно нулю.

Систему неравенств с одной неизвестной решают по очереди: для каждого условия находят подходящие значения, а затем оставляют лишь те, которые входят во все полученные промежутки. Именно поэтому промежутки пересекают, а не объединяют. Если граница входит в решение одного неравенства, это ещё не означает, что она входит в ответ: проверяют и остальные условия. Например, знак ≤ включает корень, а знак < не включает его.

Ограничения могут появиться при преобразованиях, например, когда переменную ставят в знаменатель или извлекают корень. В таких случаях исходное выражение определено не при всех значениях, и это нужно учитывать отдельно. Деление на выражение, которое может быть нулём, способно удалить решения, соответствующие нулевому значению делителя. Проверка кандидатов в исходных условиях помогает отсеять посторонние значения и вернуть те случаи, которые нельзя было делить.

Системы уравнений и системы неравенств

Сравнивайте в таблице не форму записи, а смысл ответа: для системы подходят только значения, общие для всех условий. При решении неравенств сначала отмечайте границы каждого промежутка, а затем выделяйте их общую часть. Для системы уравнений проверьте каждый найденный набор подстановкой в исходные уравнения.

Разбор задач

Система: x + y = 7, x − y = 1

Здесь коэффициенты при y противоположны, поэтому сложение уравнений сразу исключит эту неизвестную. Так мы найдём x, затем вернёмся к любому исходному уравнению и восстановим y. В конце проверим обе части пары, чтобы убедиться, что выполнены оба условия.

1. Складываем уравнения: (x + y) + (x − y) = 7 + 1, поэтому 2x = 8 и x = 4.
2. Подставляем x = 4 в первое уравнение: 4 + y = 7, откуда y = 3.
3. Проверяем пару: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. Оба равенства верны.

Ответ: (4; 3). Сложение оказалось удобным, потому что слагаемые y уничтожились, а найденную пару подтвердили обе исходные строки. Если бы проверка не прошла, пришлось бы вернуться к вычислениям, а не записывать такую пару как ответ.

Система: y = x², y = 2x + 3

Обе строки выражают одну и ту же величину y, значит, для общей точки графиков правые части должны быть равны. Приравнивание сведёт систему к квадратному уравнению относительно x. Найденные значения x нужно использовать для вычисления y, а затем проверить, что пары подходят обеим строкам.

1. Приравниваем выражения: x² = 2x + 3, переносим всё влево и получаем x² − 2x − 3 = 0.
2. Разлагаем на множители: (x − 3)(x + 1) = 0. Поэтому x = 3 или x = −1.
3. При x = 3 получаем y = 9; при x = −1 получаем y = 1. В обоих случаях значения y совпадают с 2x + 3.

Ответ: (3; 9) и (−1; 1). Каждая пара задаёт общую точку двух графиков, поскольку обе формулы дают для неё одно и то же y. Проверка показывает, что приравнивание не привело к лишним парам.

Система: x² − 5x + 6 ≤ 0, x > 1

Сначала решим квадратное неравенство, а затем линейное. Корни квадратного трёхчлена равны 2 и 3, а ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение неположительно между корнями, включая их. Условие x > 1 задаёт другой промежуток; в ответ попадёт только его общая часть с первым.

1. Разложим трёхчлен: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Отсюда первое неравенство выполняется при x ∈ [2; 3].
2. Второе неравенство задаёт x ∈ (1; +∞). Числа 2 и 3 входят в этот промежуток.
3. Пересекаем множества: [2; 3] ∩ (1; +∞) = [2; 3]. Оба конца остаются включёнными благодаря первому условию.

Ответ: x ∈ [2; 3]. Промежуток не расширяется до объединения, потому что числа из него должны удовлетворять обоим неравенствам. Граница 1 не входит в ответ, а границы 2 и 3 входят.

Типичные ошибки

Ошибка — принять за решение значения, подходящие только одному уравнению или неравенству. Её допускают, когда решают условия по очереди и забывают, что они относятся к одной системе. Проверяйте каждый кандидат по всем строкам исходной записи. Если хотя бы одно условие неверно, это значение не является решением системы.

После исключения неизвестной иногда сразу записывают ответ, не восстанавливая вторую переменную. Тогда можно пропустить ошибку при вычислениях или получить пару, которая не подходит исходным уравнениям. Подставьте найденные значения обратно в каждое уравнение, а не только в то, которое использовалось последним. Верные равенства подтверждают ответ.

При решении системы неравенств нельзя объединять промежутки: объединение включает числа, которые могут удовлетворять лишь одному условию. Путаница возникает из-за того, что при неравенствах часто используют обозначение объединения. Нарисуйте промежутки на числовой прямой и выделите участок, общий для всех. Затем проверьте концы: входят они в каждое условие или нет.

Деление на выражение с неизвестной без проверки может привести к потере решений. Если выражение равно нулю, делить на него нельзя, а соответствующий случай мог подходить исходной системе. До деления отдельно рассмотрите, при каких значениях делитель обращается в ноль. Если такие значения возможны, проверьте их в исходных уравнениях.

Связь с другими темами

Для решения систем нужны навыки работы с линейными и квадратными уравнениями и неравенствами. Также важно уметь преобразовывать выражения и записывать ответы промежутками. Эти умения позволяют свести систему к более простым условиям, не теряя ограничений.

Системы возникают в задачах, где одновременно заданы несколько условий на неизвестные величины. Геометрически система уравнений помогает искать общие точки графиков: координаты такой точки удовлетворяют всем уравнениям сразу. Это связывает алгебраические вычисления с графическим смыслом ответа.

Освоенные способы пригодятся при изучении нелинейных систем уравнений и неравенств, где условия могут иметь более сложную форму. Те же идеи применяют в математическом моделировании: модель описывает ситуацию несколькими ограничениями, а решение должно удовлетворять им одновременно. Поэтому проверка условий остаётся важной и в прикладных задачах.

Что запомнить

• Решение системы удовлетворяет каждому её условию.
• Решение системы уравнений — набор значений неизвестных.
• Равносильные преобразования не меняют множество решений.
• Подстановка и сложение уравнений помогают свести систему к уравнению с одной неизвестной.
• Решение системы неравенств — пересечение множеств решений отдельных неравенств.
• Найденные решения следует проверить подстановкой в исходную систему.