2. Вероятностное пространство

Определения и обозначения

Случайный опыт — опыт, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные исходы известны. Например, при броске кубика неизвестно, какая грань окажется сверху, но варианты от 1 до 6 известны. Это понятие помогает отделить случайные ситуации от тех, где результат заранее определён.

Элементарный исход — один конкретный результат случайного опыта; множество всех таких исходов обозначают Ω. Для броска кубика элементарными исходами могут быть числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Запись Ω нужна, чтобы перечислить все варианты и затем описывать события через них.

Событие — подмножество множества Ω; оно происходит, если исход опыта принадлежит этому подмножеству. Например, событие «выпало чётное число» при броске кубика состоит из исходов 2, 4 и 6. Такое описание позволяет выяснить, какие результаты отвечают условию задачи.

Вероятностное пространство — тройка (Ω, F, P), где Ω — множество исходов, F — множество рассматриваемых событий, P — вероятность, заданная для событий. Тройка объединяет описание опыта и способ оценить шансы событий. Она нужна, чтобы рассуждения о случайности были точными и согласованными с правилами вероятности.

Как это устроено

Множество Ω должно содержать все возможные элементарные исходы, потому что иначе модель не сможет описать некоторые результаты опыта. Исходы в этой модели должны быть различимы: если их смешать, станет непонятно, какие из них приводят к нужному событию. При этом в одном опыте происходит ровно один элементарный исход, поэтому разные исходы не наступают одновременно. Например, при одном броске кубика не могут выпасть сразу 2 и 5.

Событие задают перечислением подходящих исходов или условием, которому они удовлетворяют. Для конечного множества исходов удобно прямо записать подмножество, а при большом числе вариантов — описать его словами или правилом. Достоверное событие совпадает с Ω, потому что оно происходит при любом исходе; невозможное — пустое множество ∅, так как ему не соответствует ни один исход. Такое представление позволяет применять к событиям операции над множествами.

Множество F выделяют потому, что вероятность должна быть определена не для произвольных описаний, а для выбранных событий. В него включают Ω и ∅, чтобы можно было работать с достоверными и невозможными событиями. Если событие принадлежит F, в F должно входить и его дополнение — событие «A не произошло»; объединения допустимых событий тоже должны оставаться событиями. Это нужно, чтобы сочетание условий и переход к противоположному событию не выводили рассуждение за пределы модели.

Вероятность P каждому событию A из F ставит в соответствие число P(A). Она неотрицательна, а вероятность всего пространства равна 1, поскольку какой-либо исход обязательно произойдёт. Если события попарно несовместны, то есть никакие два из них не происходят одновременно, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Эти условия не позволяют, например, получить отрицательную вероятность или оценить достоверное событие числом, отличным от 1.

Сначала в модели описывают исходы и выделяют нужные события, а затем задают вероятности, согласованные с аксиомами. Например, для равновероятного броска правильного кубика каждому из шести исходов приписывают вероятность 1/6. Модель позволяет выразить вопрос «каков шанс события?» числом и использовать его для сравнения вариантов. Если изменился сам опыт или известные сведения о нём, исходы либо вероятности могут потребовать нового описания.

Части вероятностного пространства

Читай таблицу слева направо: сначала выясни, какие результаты описывает Ω, затем какие события входят в F и как для них задаётся P. Условия в последнем столбце помогают проверить, что модель согласована. Если они нарушены, полученные вероятности нельзя считать корректными.

Разбор задач

Задача 1. Бросают игральный кубик. Запишите множество элементарных исходов и событие «выпало чётное число».

1. При одном броске кубика возможны шесть результатов: выпадение каждой из граней.
2. Обозначим результат числом на грани и запишем Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Выберем из этого множества числа, делящиеся на 2: это 2, 4 и 6. Значит, искомое событие является подмножеством Ω.

Ответ: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, событие A = {2, 4, 6}.

Задача 2. Монету бросают дважды. Опишите множество исходов и событие «орёл выпал ровно один раз».

1. В одном броске возможны орёл (О) и решка (Р). Поскольку бросков два, нужно учитывать результаты обоих по порядку.
2. Перечислим все пары: Ω = {ОО, ОР, РО, РР}. Порядок важен: ОР означает орла сначала и решку потом, а РО — наоборот.
3. Оставим пары с одним орлом и одной решкой. Этому условию отвечают ОР и РО, а ОО и РР не подходят.

Ответ: событие A = {ОР, РО}.

Задача 3. Исходы равновероятны, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}. Найдите P(A), P(B), P(A ∪ B) и проверьте, можно ли сложить P(A) и P(B).

1. Всего исходов шесть, и каждый равновероятен. Поэтому вероятность события равна отношению числа входящих в него исходов к шести: P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3.
2. Объединение A и B содержит исходы, входящие хотя бы в одно событие: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}. Значит, P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3.
3. Исход 6 входит и в A, и в B, поэтому события не несовместны. Простая сумма даёт 1/2 + 1/3 = 5/6 и завышает ответ на вероятность общего исхода 6, равную 1/6.

Ответ: P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A ∪ B) = 2/3; складывать вероятности без поправки нельзя, так как A и B имеют общий исход.

Типичные ошибки

Считать событие отдельным исходом. Эту ошибку допускают, когда смешивают конкретный результат и условие, которое может выполняться при нескольких результатах. Например, «выпало чётное» — не один исход, а множество {2, 4, 6}. Проверь себя: можно ли перечислить несколько результатов, при которых событие произойдёт? Если да, событие объединяет соответствующие исходы.

Не включать в Ω некоторые возможные результаты. Так случается, если перечислять только исходы, удобные для задачи, а не все результаты опыта. Тогда событие может быть описано неверно, а сумма вероятностей исходов окажется меньше 1. Проверь себя, задав вопрос: может ли в опыте произойти результат, которого нет в записи Ω?

Приписывать вероятности значение меньше 0 или больше 1. Иногда число исходов по ошибке используют не как отношение или не проверяют результат вычисления. Вероятность всегда лежит между 0 и 1 включительно: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Проверь себя на крайних случаях: невозможному событию соответствует 0, а достоверному — 1.

Складывать вероятности любых двух событий. Простое сложение не учитывает исходы, которые входят сразу в оба события, поэтому результат может быть завышен. Правило суммы без поправок применимо только к несовместным событиям. Проверь себя, найдя пересечение A ∩ B: если оно не пусто, в общем случае нужно вычесть его вероятность, то есть использовать P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Связь с другими темами

Для описания вероятностного пространства нужны знания о множествах: подмножестве, объединении, пересечении и дополнении. После построения модели можно вычислять вероятности событий, изучать условную вероятность и независимость — для них важно точно понимать, какие исходы входят в события. В конечной модели с равновероятными исходами вероятность находят подсчётом: число благоприятных исходов делят на число всех исходов. Поэтому здесь пригодятся способы подсчёта вариантов.

Что запомнить

• Ω содержит все возможные элементарные исходы опыта.
• Событие — подмножество Ω.
• Вероятностное пространство задаётся тройкой (Ω, F, P).
• Вероятность события неотрицательна и не превосходит 1.
• Вероятность достоверного события равна 1, невозможного — 0.
• Вероятности попарно несовместных событий складываются.