"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Логарифмические уравнения и неравенства позволяют найти значения переменной, когда она стоит под знаком логарифма. Простейшее уравнение logₐ x = b решается переходом к равенству x = aᵇ. В неравенствах нужно учитывать, возрастает или убывает логарифмическая функция: при основании больше 1 направление сравнения сохраняется, а при основании от 0 до 1 меняется. В обоих случаях сначала проверяют область допустимых значений, иначе можно получить ответ, при котором выражение не определено.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная входит в аргумент или основание логарифма. При решении такого уравнения обязательно учитывают область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Это помогает не принять за корень значение, для которого логарифм не определён.
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид logₐ x = b: логарифм числа x с основанием a равен числу b. Оно называется простейшим, потому что его можно сразу заменить равенством без логарифма. Такая замена основана на определении логарифма и служит основным способом решения подобных задач.
Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором переменная входит в аргумент или основание логарифма. В этой теме рассматриваются неравенства с постоянным основанием a, для которого a > 0 и a ≠ 1. Ограничение позволяет использовать свойства монотонности логарифмической функции и верно сравнивать аргументы.
Область допустимых значений логарифмического выражения — множество значений переменной, при которых основание положительно и не равно 1, а аргумент положителен. Для постоянного основания достаточно проверить его условия и найти, где положителен аргумент. ОДЗ нужно учитывать при решении и уравнений, и неравенств.
Равенство logₐ x = b означает, что число b является показателем степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x. Поэтому по определению логарифма это равенство равносильно x = aᵇ. Условия a > 0, a ≠ 1 и x > 0 не исчезают при преобразовании: без них исходный логарифм не определён. Например, при допустимом основании 3 равенство log₃ x = 2 превращается в x = 3².
Если в уравнении аргументом служит выражение f(x), сначала находят, при каких x оно положительно. Это необходимо потому, что уравнение logₐ f(x) = b имеет смысл лишь при f(x) > 0. Затем по определению логарифма получают f(x) = aᵇ и решают полученное уравнение. Его корни оставляют только в том случае, если они удовлетворяют исходной ОДЗ.
Для неравенства logₐ f(x) > b сравнение переводят к аргументу, используя монотонность функции. При a > 1 функция возрастает: если значение логарифма больше b, то и аргумент больше aᵇ. При 0 < a < 1 функция убывает, поэтому большему значению логарифма соответствует меньший аргумент. В этом случае получается f(x) < aᵇ, и одновременно необходимо f(x) > 0.
При сравнении логарифмов с одинаковым основанием, например logₐ f(x) и logₐ g(x), действует та же зависимость. Когда a > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому порядок значений логарифмов совпадает с порядком аргументов. Когда 0 < a < 1, функция убывает и порядок становится обратным. Сравнивать аргументы можно только там, где оба они положительны, иначе исходные логарифмы не определены.
Решение неравенства — это не только результат сравнения аргумента с aᵇ, но и выполнение ОДЗ. Поэтому отдельно находят множество значений, при которых аргумент положителен, и множество решений преобразованного неравенства, а затем берут их пересечение. Графики помогают увидеть причину перемены знака: кривая y = log₂ x возрастает, а y = log₁⁄₂ x убывает. Обе функции проходят через точку (1; 0), но при увеличении x ведут себя противоположно.
| Случай | Условие на основание и аргумент | Равносильное преобразование |
|---|---|---|
| logₐ x = b | a > 0, a ≠ 1; x > 0 | x = aᵇ |
| logₐ f(x) = b | a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0 | f(x) = aᵇ при f(x) > 0 |
| logₐ f(x) > b при a > 1 | f(x) > 0 | f(x) > aᵇ |
| logₐ f(x) > b при 0 < a < 1 | f(x) > 0 | f(x) < aᵇ |
| logₐ f(x) > logₐ g(x) при a > 1 | f(x) > 0, g(x) > 0 | f(x) > g(x) |
| logₐ f(x) > logₐ g(x) при 0 < a < 1 | f(x) > 0, g(x) > 0 | f(x) < g(x) |
Сначала выберите строку, соответствующую виду задачи и основанию, а затем запишите перечисленные условия на аргументы. После преобразования решите полученное уравнение или неравенство обычными способами. В неравенствах итог обязательно пересеките с ОДЗ.
Здесь логарифм уже имеет простейший вид: неизвестное находится только в аргументе, а основание и значение логарифма известны. Перейдём к показательной форме по определению логарифма. После этого проверим, допустимо ли найденное значение x.
Ответ: x = 9. Проверка проста: log₃ 9 = 2, поскольку 3² = 9. Если бы получилось неположительное значение x, его пришлось бы исключить как недопустимое. Здесь ограничение не мешает найденному корню.
Аргументом является выражение x − 1, поэтому нельзя сразу решать уравнение, не выяснив, где логарифм определён. Сначала потребуем положительности аргумента, затем заменим логарифм равенством без логарифма. В конце сравним найденное значение с условием ОДЗ.
Ответ: x = 9. Подстановка даёт log₂(9 − 1) = log₂ 8 = 3, так что равенство выполняется. Запись ОДЗ до преобразования нужна не для вычисления корня, а для проверки его допустимости. Именно на этой проверке отсеиваются посторонние значения в более сложных уравнениях.
Здесь основание ⅓ положительно, но меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывает. Из-за этого при переходе к сравнению аргумента знак неравенства изменится на противоположный. Также необходимо учесть, что выражение 2x + 1 должно быть положительным.
Ответ: (−½; −⅓]. Левая граница не включена, поскольку при x = −½ аргумент логарифма равен нулю. Правая граница включена: при x = −⅓ аргумент положителен и исходное неравенство превращается в равенство. Так видны обе роли условий: знак зависит от основания, а границы ответа — ещё и от ОДЗ.
Первая ошибка — забыть условие положительности аргумента. Так происходит, когда ученик сосредоточен на преобразовании и проверяет только полученное уравнение или неравенство; тогда в ответ попадают недопустимые значения. Самопроверка: подставьте найденные x в аргумент каждого логарифма и убедитесь, что он больше нуля.
Вторая ошибка — считать, что для основания достаточно условия a > 0, или вообще не проверять его. Но при a = 1 логарифм не задаёт обычную логарифмическую функцию, а при неположительном основании он не определён в рассматриваемой теме. Причина ошибки — применение формул без проверки условий. Проверьте, что постоянное основание положительно и не равно 1.
Третья ошибка — не менять знак неравенства при 0 < a < 1. Часто правило запоминают только для возрастающей функции и переносят на убывающую; в итоге получается множество в неправильную сторону. Для проверки определите, больше основание 1 или меньше, либо сравните поведение функции: при основании меньше 1 она убывает, значит, порядок аргументов обращается.
Четвёртая ошибка — сравнивать аргументы, не проверив их положительность, или менять знак без причины. Сравнение допустимо лишь там, где оба логарифма определены, а направление меняют именно из-за убывания при основании между 0 и 1. Проверьте ОДЗ обоих аргументов и отдельно установите, сохраняется знак или обращается. Не переносите перемену знака на случай основания больше 1.
Для решения нужно знать определение логарифма и уметь переходить между записями logₐ x = b и x = aᵇ. Условия на основание и аргумент опираются на само понятие логарифма. При решении неравенств помогает знание свойств показательной функции и правила: при умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется. Эти приёмы понадобятся и в более сложных логарифмических, показательно-логарифмических задачах.
Почему перед решением логарифмического уравнения нужно записывать ОДЗ?
Логарифм определён только при положительном аргументе, а его основание должно быть положительным и не равняться 1. Если не учесть эти ограничения, в ответ могут попасть значения, при которых исходное уравнение не имеет смысла. Поэтому найденные корни проверяют по ОДЗ.
Как перейти от logₐ x = b к уравнению без логарифма?
По определению логарифма logₐ x = b равносильно x = aᵇ. При этом сохраняются условия a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Если вместо x стоит выражение, после перехода приравнивают его к aᵇ и проверяют ОДЗ.
Почему при основании меньше 1 знак неравенства меняется?
При 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает: большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Поэтому при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов порядок меняется на противоположный. Это связано с поведением функции, а не с произвольным правилом.
Можно ли сокращать одинаковые логарифмы в неравенстве?
Если у логарифмов одно и то же допустимое основание, сравнение можно свести к сравнению аргументов. При основании больше 1 направление неравенства сохраняется, а при основании между 0 и 1 меняется. Перед сравнением необходимо убедиться, что оба аргумента положительны.
Что делать, если найденный корень не удовлетворяет ОДЗ?
Такое значение не является решением исходного уравнения: при нём логарифм не определён. Корень нужно отбросить, а в ответ включить только значения, удовлетворяющие ОДЗ. Если ни одно найденное значение условию не подходит, решений нет.
3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства
