4. Некоторые пределы, связанные с числом е

Определения и обозначения

Число e задаётся пределом последовательности: e = lim (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞; приближённо e ≈ 2,71828. Последовательность — это набор чисел, получаемых при целых значениях n, а её предел описывает, к какому числу они приближаются. Это определение нужно, чтобы зафиксировать постоянную, возникающую при непрерывном росте и в формулах экспоненты.

Второй замечательный предел записывают так: lim (1 + x)^(1/x) = e при x → 0. Запись означает, что значения выражения становятся сколь угодно близки к e, когда x приближается к нулю, но не равен ему. В окрестности нуля основание 1 + x должно быть положительным, поэтому рассматривают x > −1, x ≠ 0.

Для положительного основания a действует формула lim (a^x − 1)/x = ln a при x → 0, где ln a — натуральный логарифм числа a. Это предел изменения степени a^x относительно малого изменения показателя x. Он нужен, например, чтобы находить пределы и производные показательных выражений.

Логарифмический предел имеет вид lim ln(1 + x)/x = 1 при x → 0. Здесь аргумент логарифма должен быть положительным, то есть 1 + x > 0, а знаменатель не должен обращаться в ноль. Формула показывает, как ведёт себя логарифм числа, близкого к единице, и позволяет упрощать соответствующие неопределённости.

Как это устроено

Связь между определением e через последовательность и функциональным пределом видна при замене t = 1/n. Тогда n = 1/t и (1 + 1/n)ⁿ превращается в (1 + t)^(1/t), причём при n → ∞ переменная t стремится к нулю справа. Так последовательностное выражение становится частным случаем функционального. Предел функции при t → 0 существует с обеих сторон, поэтому он равен e и при двустороннем приближении.

Чтобы получить формулу lim (1 + a/x)^x = e^a при x → ±∞, вводят u = a/x. При постоянном a ≠ 0 переменная u стремится к нулю, а x = a/u, поэтому исходное выражение становится (1 + u)^(a/u) = ((1 + u)^(1/u))^a. Внутренняя часть стремится к e, значит всё выражение стремится к e^a. При a = 0 выражение равно 1 там, где определено, что совпадает с e⁰; при любом постоянном a основание положительно для достаточно больших по модулю x.

Для экспоненциального предела используем равенство a^x = e^(x ln a), которое верно при a > 0. Обозначим h = x ln a; тогда (a^x − 1)/x = ln a · (e^h − 1)/h. При x → 0 также h → 0, а предел второго множителя равен 1 по следствию второго замечательного предела. Поэтому остаётся ln a; если a = 1, выражение изначально равно нулю, и формула тоже даёт ln 1 = 0.

Логарифмический предел можно вывести из экспоненциального, заменив переменную: положим u = ln(1 + x). Тогда x = e^u − 1, а ln(1 + x)/x = u/(e^u − 1). При x → 0 аргумент логарифма остаётся положительным, а u → 0; по пределу для экспоненты дробь стремится к 1. Такая замена допустима именно потому, что логарифм определён только при положительном аргументе.

В этих формулах важно не только сходство внешнего вида, но и направление стремления: например, x → +∞ и x → −∞ означают разные стороны подхода к бесконечности. Перед преобразованием проверь, что основание степени положительно, а аргумент логарифма допустим. Подстановка переменной помогает привести выражение к известному пределу, но её коэффициенты меняют показатель или множитель перед выражением. Поэтому после замены нужно отдельно проследить, к чему стремится новая переменная и как через неё выражается весь исходный показатель.

Основные пределы, связанные с числом e

Сначала сопоставь выражение в задаче с формой в первом столбце, затем проверь условия во втором. Если выражение не совпадает буквально, попробуй замену переменной и проследи за показателем степени. Таблица даёт результат только после проверки области определения и направления предела.

Разбор задач

Найти lim (1 + 3/x)^x при x → +∞. В скобках стоит 1 плюс постоянная, делённая на переменную, а показатель равен этой переменной. Это стандартная форма предела с a = 3, поэтому можно применить готовую формулу после проверки допустимости.

1. Сравниваем выражение с (1 + a/x)^x и определяем a = 3. При x → +∞ основание 1 + 3/x стремится к 1 и остаётся положительным при всех достаточно больших x. Значит, выражение определено в нужной окрестности бесконечности.
2. Применяем предел lim (1 + a/x)^x = e^a. Подстановка a = 3 даёт e³, без дополнительного множителя в показателе. Поэтому искомый предел равен e³.

Ответ: e³.

Найти lim (2^x − 1)/x при x → 0. Здесь основание степени равно 2 и положительно, поэтому можно использовать экспоненциальный предел. Важно, что переменная в основании не стоит: x является показателем степени и знаменателем дроби.

1. Проверяем условие формулы: a = 2, и действительно 2 > 0. Это гарантирует, что действительная степень 2^x и логарифм ln 2 определены. Переменная x стремится к нулю, как требует предел.
2. Используем lim (a^x − 1)/x = ln a. Подставляем a = 2 и получаем ln 2. Никакой дополнительной замены здесь не требуется.

Ответ: ln 2.

Найти lim (1 + 2x)^(1/x) при x → 0. Коэффициент 2 мешает сразу увидеть стандартную запись, поэтому удобно заменить переменную. При этом нельзя оставить показатель 1/x без пересчёта: именно здесь возникает множитель 2 в окончательном ответе.

1. Положим t = 2x, тогда x = t/2, а при x → 0 переменная t тоже стремится к нулю. Основание становится 1 + t, а показатель 1/x превращается в 2/t. Значит, выражение равно (1 + t)^(2/t).
2. Переписываем степень как ((1 + t)^(1/t))². По второму замечательному пределу внутренняя часть стремится к e, поэтому квадрат стремится к e². Условие t > −1 выполняется в достаточно малой окрестности нуля.

Ответ: e².

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что (1 + x)^(1/x) стремится к e при любом направлении, не проверяя область определения. Её допускают, запоминая только формулу и забывая, что действительная степень с переменным показателем требует положительного основания. Проверь 1 + x > 0 и исключи x = 0; около нуля это выполняется при x > −1. Если рассматривается другая точка или другая область, условие нужно проверить заново.

При замене переменной можно потерять коэффициент: например, после t = 2x ошибочно оставить показатель 1/t вместо 2/t. Причина в том, что заменяют выражение в скобках, но не пересчитывают показатель. Для самопроверки вырази через новую переменную каждую часть: и основание, и показатель, и саму величину, к которой стремится переменная. В примере получится степень с показателем 2/t, поэтому результат — e².

Формулу для (a^x − 1)/x нельзя применять при a ≤ 0 для произвольного действительного x. Часто забывают условие a > 0, потому что оно не видно в самой дроби, но для вывода используется ln a и требуется действительная степень a^x. Проверь основание до подстановки в формулу. Если оно неположительно, нужные выражения в общем случае не определены на действительных x.

Нельзя заменять выражение (a^x − 1)/x на ln a, если x не стремится к нулю. Это не тождество, а утверждение о предельном значении при определённом направлении переменной. Ошибка возникает, когда формулу запоминают как равенство выражений. Перед вычислением запиши условие x → 0 и убедись, что рассматривается именно предел.

Связь с другими темами

Для работы с этими пределами нужны свойства степеней и логарифмов, а также умение выполнять замену переменной и находить пределы. Они применяются при вычислении производных показательной, логарифмической и степенной функций: предельное изменение функции при малом изменении аргумента связано с её производной. Экспонента и логарифм помогают описывать непрерывный рост, в том числе сложные проценты. Поэтому эти формулы становятся инструментом и для дальнейших разделов анализа, и для прикладных задач.

Что запомнить

• Число e определяется пределом (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞.
• lim (1 + x)^(1/x) = e при x → 0.
• lim (1 + a/x)^x = e^a при x → ±∞, если выражение определено.
• Для a > 0: lim (a^x − 1)/x = ln a при x → 0.
• lim ln(1 + x)/x = 1 при x → 0.
• При замене переменной учитывай коэффициенты и направление стремления.