"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Система уравнений объединяет несколько условий для одних и тех же неизвестных: решение подходит только тогда, когда все равенства верны одновременно. Такие системы помогают описывать связи между величинами, заданные корнями, тригонометрическими функциями, степенями и логарифмами. Их решают, преобразуя уравнения, подставляя выражения и вводя новые переменные. При этом нужно учитывать область допустимых значений, периодичность и возможные посторонние корни, а найденные значения проверять в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе для x и y одна пара значений должна подходить сразу обоим равенствам. Это понятие нужно, когда условие задачи задаёт не одну, а несколько связанных зависимостей.
Решение системы — набор значений неизвестных, обращающий в верные равенства каждое уравнение системы. Для двух неизвестных таким набором обычно служит пара (x; y). Определение помогает не принять значение, подходящее только одному из уравнений, за ответ всей задачи.
Равносильные системы — системы с одним и тем же множеством решений; преобразования к ним не должны добавлять или терять решения. Поэтому при замене системы важно следить, сохраняется ли возможность обратного перехода. Это позволяет преобразовывать выражения, не меняя ответа.
Посторонний корень — значение, полученное при преобразовании, но не удовлетворяющее исходной системе. Он может появиться, например, после возведения обеих частей равенства в квадрат. Понятие нужно, чтобы отличать кандидатов на ответ от действительно подходящих решений.
Решение системы сводится к поиску общих решений её уравнений. Сначала уравнения можно преобразовать по отдельности, чтобы получить более простые зависимости или выразить одну неизвестную через другую. Но найденные таким образом значения становятся решениями системы только при одновременном выполнении всех условий: именно поэтому в конце сопоставляют результаты уравнений.
Если из одного уравнения удаётся выразить переменную, подстановка этого выражения в другое уравнение часто уменьшает число неизвестных. Так система превращается в уравнение с одной переменной, которое проще решить известными способами. Полученные значения возвращают в исходное выражение, находят вторую переменную и проверяют обе исходные строки: это защищает от потери условий при подстановке.
В уравнениях с корнями сначала выясняют, при каких значениях переменных выражения под корнями допустимы. Если корень изолирован, обе части иногда возводят в квадрат, чтобы убрать знак корня и получить алгебраическое уравнение. Однако квадрат одинаков для противоположных чисел, поэтому обратный переход может оказаться неверным; найденные пары обязательно проверяют в исходной системе.
В тригонометрических системах тождества и формулы преобразования помогают выразить уравнения через общие функции или переменные. Например, формулы суммы и разности могут связать sin x и sin y с выражениями от x + y и x − y. При этом тригонометрические функции периодичны, поэтому нужно записывать полные серии углов и оставлять только те сочетания, которые одновременно удовлетворяют всем уравнениям.
В показательных системах часто приводят степени к одинаковому основанию или заменяют повторяющееся выражение новой переменной. В логарифмических системах применяют свойства логарифмов либо переходят от logₐ b = c к равенству aᶜ = b. Эти действия упрощают вид системы, но требуют ограничений: показательное значение положительно, а аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля.
| Тип системы | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|
| Иррациональная | Изоляция корня, возведение в степень, подстановка | Допустимость подкоренных выражений и проверка в исходной системе |
| Тригонометрическая | Тождества, формулы преобразования, сведение к одной функции или переменной | Все ветви решений и периодичность |
| Показательная | Приведение к одинаковому основанию или замена вида aˣ = t | Положительность степенных выражений и корректность обратного перехода |
| Логарифмическая | Свойства логарифмов, замена переменной или переход к показательному виду | Положительность аргументов логарифмов и проверка найденных значений |
Сначала определите тип системы и выпишите ограничения на неизвестные, затем выберите подходящий приём из таблицы. Если в системе встречаются разные типы выражений, применяйте приёмы последовательно, не забывая об общих переменных. В любом случае окончательный ответ проверяют в исходных уравнениях.
Задача 1. Решить систему: √(x + y) = 3, x − y = 1. Корень определён при x + y ≥ 0. Первое равенство задаёт сумму переменных, а второе — их разность, поэтому удобно использовать их вместе.
Ответ: (5; 4). Здесь возведение в квадрат не привело к постороннему ответу, поскольку полученная пара проверена в исходной системе.
Задача 2. Решить систему: sin x + sin y = 0, x + y = π. Из второго уравнения получаем y = π − x. Подстановка связывает оба синуса с одной переменной, а формула sin(π − x) = sin x позволяет решить уравнение без потери периодических значений.
Ответ: (x; y) = (πk; π(1 − k)), k ∈ Z. Целый параметр сохраняет все решения, а не только частную пару при одном значении k.
Задача 3. Решить систему: 2ˣ + 2ʸ = 10, x + y = 4. Повторяющиеся степени удобно обозначить отдельными положительными переменными. Второе уравнение при этом даст связь между новыми переменными через произведение.
Ответ: (1; 3), (3; 1). При обратном переходе используем, что 2¹ = 2 и 2³ = 8.
Возводить уравнение с корнем в квадрат без проверки — значит считать преобразование равносильным при любых знаках выражений. Так поступают, потому что квадрат кажется обычным способом убрать корень, но он может добавить решения. Сначала выпишите область допустимых значений, а затем подставьте найденные значения в исходное равенство и систему.
Забывать ограничения аргументов логарифмов — значит рассматривать значения, при которых сам логарифм не существует. Ошибка возникает, если решать преобразованное уравнение и не следить за исходной областью определения. Для самопроверки запишите неравенство для каждого аргумента: он должен быть строго положительным, а затем проверьте кандидатов.
Записать для тригонометрического уравнения только одно значение — значит потерять остальные решения, возникающие из-за периодичности функций. Часто так происходит, когда в ответ переносят лишь главный угол, найденный на окружности. Записывайте все серии с целым параметром k и проверяйте, какие из них совместимы с остальными уравнениями системы.
Считать решение одного уравнения решением всей системы нельзя: оно может не удовлетворять другим условиям. Это происходит, когда после преобразований внимание сосредоточено на одном уравнении или одной переменной. Подставьте каждую найденную пару во все исходные равенства и убедитесь, что каждое из них верно.
Для решения систем нужно уметь находить области допустимых значений, выполнять равносильные преобразования и решать уравнения с корнями, тригонометрическими функциями, степенями и логарифмами. Эти навыки становятся инструментами для работы с несколькими условиями сразу. Если отдельное уравнение решено неверно или неполно, ошибка перейдёт и в решение системы.
Приёмы темы пригодятся в смешанных системах и задачах, где неизвестные связаны радикалами, степенными, логарифмическими или тригонометрическими зависимостями. Подстановка и замена переменной помогают свести такие задачи к уже знакомым уравнениям. Проверка ограничений и совместности условий позволяет убедиться, что преобразования сохранили исходный смысл.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Решение одного уравнения должно удовлетворять только этому уравнению. Решение системы — это набор значений, при котором верны все её уравнения одновременно.
Почему после возведения уравнения с корнем в квадрат нужна проверка?
Возведение в квадрат не всегда равносильно исходному действию: например, равенство a = b влечёт a² = b², но обратное требует проверки знаков. Поэтому после преобразования могут появиться посторонние решения, которые нужно исключить подстановкой в исходную систему.
Как учитывать периодичность при решении тригонометрических систем?
Записывайте все серии решений с целым параметром k, а не только одно значение угла. Затем учитывайте остальные уравнения системы: подходят лишь значения, совместимые с ними при одном и том же наборе неизвестных.
Какие ограничения нужно записать для логарифмического уравнения?
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Если основание логарифма является переменной, оно также должно быть положительным и не равным 1.
Когда удобно вводить новую переменную при решении системы?
Замена полезна, когда одинаковые выражения повторяются или степенные и логарифмические части можно обозначить одной переменной. Например, при 2ˣ и 2ʸ удобно положить a = 2ˣ и b = 2ʸ, не забывая, что a и b положительны.
8. Системы иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений
