1. Бесконечно малые функции

Определения и обозначения

Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если lim α(x) = 0 при x → a. Это означает, что при приближении x к a значения α(x) становятся сколь угодно близкими к нулю. Например, α(x) = x − 3 бесконечно малая при x → 3.

Функция может быть бесконечно малой и при неограниченном изменении аргумента: α(x) → 0 при x → ∞ или при x → −∞. Примером служит α(x) = 1/x, поскольку дробь с постоянным числителем становится всё меньше по модулю. Указание, к чему стремится x, обязательно: одна и та же функция может иметь разные свойства в разных точках.

Запись lim α(x) = 0 читают так: предел функции α(x) равен нулю. Формально это значит, что для любого ε > 0 можно подобрать такое приближение аргумента к нужному значению, при котором |α(x)| < ε. Именно эта запись позволяет точно заменить неясную фразу становится очень маленькой математическим утверждением.

Как это устроено

Смысл бесконечно малой функции связан не с одним её значением, а с поведением целого набора значений. Например, x − 2 не равно нулю при x ≠ 2, но его модуль можно сделать меньше любого выбранного числа, приближая x к 2. Поэтому бесконечно малая функция не обязана быть нулевой на всём промежутке.

Сумма двух бесконечно малых функций снова стремится к нулю, потому что каждое слагаемое можно сделать малым одновременно. По неравенству треугольника |α(x) + β(x)| ≤ |α(x)| + |β(x)|, а сумма двух величин, стремящихся к нулю, также стремится к нулю. Точно так же работает разность, поскольку |α(x) − β(x)| не превышает сумму их модулей.

Произведение бесконечно малых функций стремится к нулю ещё быстрее. Если α(x) → 0 и β(x) → 0, то около предельной точки обе функции ограничены, а множитель, который уже стремится к нулю, заставляет произведение уменьшаться. Поэтому α(x)β(x) → 0.

Если функция g(x) ограничена, то есть её модуль не превосходит некоторого постоянного числа M, произведение g(x)α(x) является бесконечно малым. Действительно, |g(x)α(x)| ≤ M|α(x)|, а правая часть стремится к нулю. Это правило важно, когда в выражении есть небольшая величина и множитель, который не становится бесконечно большим.

С отношением ситуация сложнее: два нулевых предела нельзя просто сократить. Функции x и 2x обе бесконечно малы при x → 0, но их отношение равно 2, а отношение x и x² равно 1/x и не имеет конечного предела. Значит, для частного нужно сравнивать скорости стремления числителя и знаменателя, а не пользоваться одним только видом дроби.

Основные свойства бесконечно малых функций

В таблице собраны действия, которые чаще всего используются при вычислении пределов. Обозначения α(x) и β(x) означают бесконечно малые функции, а g(x) — ограниченную функцию. Сначала проверьте условия в первой колонке, затем применяйте соответствующее следствие.

Разбор задач

Задача 1

Доказать, что функция α(x) = (x − 4)sin x бесконечно малая при x → 4. Нужно определить поведение каждого множителя, а затем применить свойство произведения. Функция sin x ограничена, поэтому бесконечное уменьшение первого множителя не может быть компенсировано вторым.

1. При x → 4 имеем x − 4 → 0, значит, первый множитель является бесконечно малым.
2. Для любого x справедливо |sin x| ≤ 1, следовательно, функция sin x ограничена.
3. По свойству произведения ограниченной функции на бесконечно малую получаем (x − 4)sin x → 0.

Ответ: функция α(x) = (x − 4)sin x бесконечно малая при x → 4.

Задача 2

Найти предел lim (x² − 9)/(x − 3) при x → 3. При прямой подстановке получается неопределённость 0/0, поэтому сначала нужно преобразовать выражение. В числителе есть разность квадратов, и её разложение позволяет увидеть общий множитель со знаменателем.

1. Разложим числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. При x ≠ 3 сократим ненулевой множитель x − 3: (x² − 9)/(x − 3) = x + 3.
3. Теперь найдём предел простой функции: lim (x + 3) = 3 + 3 = 6 при x → 3.

Здесь x − 3 и числитель x² − 9 являются бесконечно малыми, но их отношение не обязано стремиться к нулю. Ответ: 6.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать бесконечно малую функцию тождественно нулевой. Её значения лишь приближаются к нулю в определённом пределе, поэтому нельзя заменять α(x) на 0 до выполнения преобразований. Проверьте себя: укажите, к чему стремится аргумент, и рассмотрите поведение функции именно в этом пределе.

Ошибка 2. Делать вывод о частном по числителю и знаменателю отдельно. Из условий α(x) → 0 и β(x) → 0 ещё не следует, что α(x)/β(x) → 0. Сначала разложите выражения, сократите допустимые множители или примените известный признак сравнения.

Ошибка 3. Забывать про ограниченность множителя. Правило произведения с бесконечно малой функцией работает, когда второй множитель ограничен; функция, неограниченно растущая, может изменить результат. Проверьте предел или оцените модуль множителя перед применением свойства.

Связь с другими темами

Бесконечно малые функции непосредственно связаны с пределом: определение бесконечно малой функции является частным случаем определения предела. Любую функцию, имеющую конечный предел A, можно представить в виде f(x) = A + α(x), где α(x) → 0.

В дальнейшем бесконечно малые используются при изучении непрерывности и производной. Приращение аргумента Δx стремится к нулю, а отношение приращения функции к Δx помогает определить производную и скорость изменения величины.

Что запомнить

• Бесконечно малая функция стремится к нулю в заданном пределе.
• Нужно всегда указывать, как изменяется аргумент: x → a, x → ∞ или x → −∞.
• Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций бесконечно малы.
• Произведение ограниченной функции на бесконечно малую является бесконечно малым.
• Отношение двух бесконечно малых функций нельзя определять без отдельного исследования.
• Если f(x) → A, то f(x) = A + α(x), где α(x) → 0.