2. Операции над бесконечно малыми функциями

Определения и обозначения

Бесконечно малая функция — функция, предел которой при заданном стремлении аргумента равен нулю: α(x) → 0. Она не обязана быть равной нулю в самой точке или около неё. Обозначение α(x) → 0 показывает именно стремление значений к нулю.

Ограниченная функция — функция, значения которой в рассматриваемой окрестности не превышают по модулю некоторого постоянного числа: |β(x)| ≤ M. График такой функции может колебаться, но не уходит за фиксированные границы. Это условие позволяет контролировать произведение с бесконечно малой функцией.

Эквивалентные бесконечно малые функции — функции α(x) и β(x), для которых α(x)/β(x) → 1. Они могут иметь разные формулы, но при приближении аргумента дают почти одинаковый вклад. Поэтому одну функцию часто заменяют другой при вычислении пределов.

Сравнение бесконечно малых функций — установление поведения их суммы, произведения или отношения при стремлении аргумента к заданному значению. Такое сравнение показывает, насколько быстро функции приближаются к нулю. Особенно осторожно нужно исследовать частное, потому что два нулевых предела сами по себе ничего о нём не говорят.

Как это устроено

Рассмотрим сумму двух бесконечно малых функций α(x) и β(x). Для её модуля выполняется неравенство |α(x) + β(x)| ≤ |α(x)| + |β(x)|. Правая часть стремится к нулю, потому что оба слагаемых стремятся к нулю, значит, по теореме о зажатой функции сумма также бесконечно мала. Для разности используется такое же рассуждение: |α(x) − β(x)| ≤ |α(x)| + |β(x)|.

Пусть α(x) → 0, а β(x) ограничена: |β(x)| ≤ M. Тогда |α(x)β(x)| ≤ M|α(x)|. Постоянный множитель M не меняет стремление к нулю, поэтому произведение становится бесконечно малым. Ограниченность важна потому, что она не позволяет второму множителю расти настолько быстро, чтобы компенсировать малость α(x).

Произведение двух бесконечно малых тоже бесконечно мало. Действительно, бесконечно малая функция β(x) ограничена в некоторой окрестности заданной точки: достаточно взять, например, |β(x)| < 1. Тогда α(x)β(x) — это произведение бесконечно малой α(x) на ограниченную β(x), а значит, оно стремится к нулю. То же рассуждение работает независимо от знаков функций.

С отношением ситуация иная: если α(x) → 0 и β(x) → 0, это форма 0/0, не дающая готового результата. Например, x²/x = x → 0, x/x = 1, а x/x² = 1/x не имеет конечного предела при x → 0. Причина различий — разная скорость стремления числителя и знаменателя к нулю, поэтому каждое такое отношение нужно преобразовывать отдельно.

Эквивалентность позволяет заменить α(x) на β(x), если α(x)/β(x) → 1 и нужное выражение сохраняет смысл. Например, при x → 0 функции sin x и x эквивалентны, поэтому sin x можно заменить на x в произведении или частном при вычислении предела. Замена не означает равенство функций: она оправдана только тем, что отношение заменяемой и новой функции стремится к единице.

Операции над бесконечно малыми функциями

Таблица помогает быстро определить, какую теорему можно применить к выражению. Сначала проверьте пределы множителей и знаменателя, затем выясните, есть ли среди них ограниченная функция или функция с ненулевым пределом. Если оба участника частного стремятся к нулю, готового правила нет — требуется отдельное преобразование.

Разбор задач

Задача 1. Сумма бесконечно малых

Доказать, что при x → 0 функция x + sin x является бесконечно малой. Нужно установить поведение каждого слагаемого, а затем применить свойство суммы.

1. x → 0 при x → 0, следовательно, функция x бесконечно мала.
2. Из известного предела sin x → 0 при x → 0 следует, что sin x также бесконечно мала.
3. Сумма двух бесконечно малых функций бесконечно мала, поэтому x + sin x → 0.

Ответ: x + sin x — бесконечно малая функция при x → 0.

Задача 2. Произведение с ограниченной функцией

Найти предел функции x² cos(1/x) при x → 0. Аргумент косинуса не имеет предела, но сам косинус всегда ограничен, и это позволяет не вычислять его отдельный предел.

1. Функция x² стремится к нулю при x → 0.
2. Для всех допустимых x выполняется |cos(1/x)| ≤ 1, значит, cos(1/x) ограничена.
3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию бесконечно мало: x² cos(1/x) → 0.

Ответ: lim x→0 x² cos(1/x) = 0.

Задача 3. Сравнение отношений

Сравнить поведение отношений x²/x и x/x² при x → 0. Здесь обе функции в каждом отношении сначала стремятся к нулю, поэтому нельзя применять правило о частном с ненулевым пределом знаменателя.

1. При x ≠ 0 имеем x²/x = x, поэтому первое отношение стремится к нулю и является бесконечно малым.
2. Второе отношение x/x² = 1/x. При приближении к нулю оно не имеет конечного двустороннего предела и по модулю неограниченно возрастает.
3. Для сравнения вспомним также x/x = 1: отношение двух бесконечно малых может быть постоянным.

Ответ: x²/x → 0, x/x = 1, а x/x² = 1/x не имеет конечного предела при x → 0. Значит, частное двух бесконечно малых может быть бесконечно малым, постоянным или неограниченным.

Типичные ошибки

Частное любых двух бесконечно малых считают бесконечно малым. Ошибка возникает из-за переноса свойства произведения на деление. Проверьте простые примеры x/x = 1 и x/x² = 1/x.

Забывают об ограниченности множителя. Сам факт, что один множитель мал, не контролирует произведение с неограниченным вторым множителем. Перед применением теоремы найдите постоянную границу или преобразуйте выражение.

Применяют теорему о частном при нулевом пределе знаменателя. Правило α(x)/β(x) → 0 требует β(x) → b, где b ≠ 0. Если знаменатель стремится к нулю, сначала сократите, разложите или сравните скорости стремления.

Заменяют бесконечно малую нулём слишком рано. Это может превратить содержательное отношение, например x/x, в неопределённость 0/0. Сначала выполните алгебраические преобразования, а уже затем исследуйте предел.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение предела функции, свойства модуля и признаки ограниченности. Свойства бесконечно малых подготавливают к вычислению пределов с помощью эквивалентных функций. Далее эти идеи используются при изучении непрерывности, производной и основных предельных формул.

Что запомнить

• Сумма и разность бесконечно малых функций бесконечно малы.
• Произведение двух бесконечно малых функций бесконечно мало.
• Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию бесконечно мало.
• Частное бесконечно малой и функции с ненулевым пределом бесконечно мало.
• Частное двух бесконечно малых заранее не определяется.
• Эквивалентные бесконечно малые имеют отношение, стремящееся к единице.
• При сравнении бесконечно малых важно учитывать скорость их стремления к нулю.