1. Приращение функции

Определения и обозначения

Аргумент функции — исходное значение x, которому соответствует значение функции f(x). Он задаёт точку, в которой рассматривают функцию, и служит отправной точкой для сравнения. Без выбранного аргумента нельзя определить начальное значение функции.

Приращение аргумента — изменение аргумента от x до x + Δx, обозначаемое Δx. Новое значение получают прибавлением Δx к начальному x. Эта величина показывает, насколько сдвинулись по оси абсцисс.

Приращение функции — изменение значения функции при изменении аргумента, обозначаемое Δy или Δf. Оно сравнивает конечное значение функции с начальным. Поэтому по знаку приращения можно понять, увеличилась функция, уменьшилась или осталась прежней.

Формула приращения функции имеет вид Δy = f(x + Δx) − f(x). В ней f(x + Δx) — новое, или конечное, значение, а f(x) — начальное. Формула связывает изменение аргумента с вызванным им изменением функции.

Как это устроено

Пусть исходный аргумент равен x, а его приращение равно Δx. Чтобы получить новое значение аргумента, к исходному прибавляют изменение: x + Δx. Поэтому разность нового и начального значений равна (x + Δx) − x = Δx: прибавленное число как раз и есть приращение.

Каждому допустимому аргументу функция ставит в соответствие своё значение. В начальной точке это f(x), а после перехода к x + Δx — f(x + Δx). Изменение значения находят так же, как изменение любой величины: конечное значение минус начальное, поэтому Δy = f(x + Δx) − f(x).

Чтобы применить формулу, в выражении функции вместо аргумента сначала записывают x + Δx и вычисляют f(x + Δx). Затем отдельно находят f(x) и вычитают его из полученного результата. Если функция задана, например, формулой x², то сначала нужно получить (x + Δx)², а не просто подставить Δx вместо x.

Знак приращения функции определяется тем, какое из двух значений больше, а не только знаком Δx. При положительном Δx функция может уменьшаться, тогда Δy < 0; при отрицательном Δx она, наоборот, может возрастать. Например, у функции y = −x положительное приращение аргумента даёт отрицательное приращение функции.

На графике берут точки с абсциссами x и x + Δx. Расстояние между их проекциями на ось x — горизонтальное изменение Δx, а разность ординат равна Δy. Если вторая точка выше первой, приращение положительно, если ниже — отрицательно.

Величины, связанные с приращением функции

Таблица помогает не перепутать начальные и конечные величины. Сначала найдите строку с аргументом, затем соответствующее значение функции и только после этого вычисляйте разность. Геометрический смысл подсказывает, в каком направлении происходит изменение.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 3x − 2 найти приращение функции при x = 1 и Δx = 0,4.

1. Находим конечный аргумент: x + Δx = 1 + 0,4 = 1,4.
2. Вычисляем начальное значение: f(1) = 3 · 1 − 2 = 1.
3. Вычисляем конечное значение: f(1,4) = 3 · 1,4 − 2 = 2,2.
4. Вычитаем начальное значение из конечного: Δy = 2,2 − 1 = 1,2. Положительный результат означает, что функция возросла.

Ответ: Δy = 1,2.

Задача 2

Для функции y = x² найти приращение функции при x = −1 и Δx = 3.

1. Конечный аргумент равен x + Δx = −1 + 3 = 2.
2. Начальное значение функции: f(−1) = (−1)² = 1.
3. Конечное значение: f(2) = 2² = 4.
4. Получаем Δy = f(2) − f(−1) = 4 − 1 = 3. Приращение функции равно 3, хотя приращение аргумента равно 3 здесь случайно совпало с ним, а вообще такое совпадение не обязательно.

Ответ: Δy = 3.

Задача 3

Для функции y = √x найти приращение функции при x = 4 и Δx = 5.

1. Находим новый аргумент: x + Δx = 4 + 5 = 9. Оба аргумента допустимы, потому что для квадратного корня требуется x ≥ 0.
2. Вычисляем значения: f(4) = √4 = 2 и f(9) = √9 = 3.
3. Находим приращение: Δy = f(9) − f(4) = 3 − 2 = 1.

Ответ: Δy = 1.

Типичные ошибки

Вычисляют только f(x + Δx). Это конечное значение функции, а не её приращение. Ошибка возникает из-за пропуска второй части формулы; проверьте, есть ли в записи вычитание f(x).

Пишут Δy = Δx без основания. Приращения аргумента и функции описывают разные величины, поэтому обычно не равны. Сравнить их можно только после отдельных вычислений, а не по обозначениям.

Меняют порядок вычитания. Запись f(x) − f(x + Δx) даёт число с противоположным знаком. Самопроверка проста: формула должна быть «конечное значение минус начальное».

Не проверяют область определения. Если x + Δx недопустимо, конечного значения функции нет и приращение не вычисляется. До подстановки проверьте оба аргумента, особенно у корней, дробей и логарифмов.

Связь с другими темами

До изучения приращения нужны понятия функции, области определения, значения функции и координат точек. Приращение помогает исследовать, как меняется график при движении по оси x, и использовать разности значений функции. Позже на этой основе вводят скорость изменения функции и производную, где сравнивают приращение функции с приращением аргумента.

Что запомнить

• Новое значение аргумента равно x + Δx.
• Приращение аргумента — это Δx.
• Приращение функции обозначают Δy или Δf.
• Главная формула: Δy = f(x + Δx) − f(x).
• Приращение функции — разность конечного и начального значений.
• Знак Δy показывает, увеличилось или уменьшилось значение функции.
• На графике Δx — горизонтальное изменение, а Δy — вертикальное изменение.