§ 1. Производная

Определения и обозначения

Приращение аргумента — изменение независимой переменной от x до x + Δx: Δx = (x + Δx) − x. Символ Δx читают как дельта икс. Это изменение задаёт небольшой отрезок, на котором сравнивают значения функции.

Приращение функции — разность значений функции, соответствующая приращению аргумента: Δf = f(x + Δx) − f(x). Оно показывает, насколько изменилась функция при переходе от x к x + Δx. По нему судят о результате изменения аргумента.

Производная функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx, стремящемся к нулю: f′(x) = lim Δx → 0 Δf/Δx. Если такой предел существует, функция имеет производную в данной точке. Производная описывает мгновенную скорость изменения функции.

Касательная к графику — прямая, угловой коэффициент которой в точке касания равен значению производной: k = f′(x₀). Она лучше всего приближает график функции вблизи точки касания. Поэтому производная связывает вычисления с геометрией графика.

Как это устроено

Отношение Δf/Δx показывает среднюю скорость изменения функции на отрезке от x до x + Δx. Например, для движения это средняя скорость на промежутке времени, а для графика — наклон секущей, проходящей через две его точки. Чем меньше Δx, тем точнее это отношение описывает изменение около выбранной точки.

Одной конечной точки недостаточно, чтобы получить мгновенную скорость: между двумя различными точками всегда есть некоторый отрезок. Поэтому Δx уменьшают и рассматривают предел отношения при Δx → 0. Если предел существует, он не зависит от способа приближения и становится определением производной.

Секущая через две близкие точки графика при уменьшении расстояния между ними приближается к касательной. Её угловой коэффициент равен отношению приращений, а в пределе — производной. Поэтому f′(x₀) показывает наклон графика именно в точке с абсциссой x₀: положительный наклон означает подъём, отрицательный — спуск.

Знак производной позволяет исследовать функцию без построения всех точек графика. На промежутке, где f′(x) > 0, функция возрастает, а где f′(x) < 0 — убывает. Если производная меняет знак с плюса на минус, получается максимум, с минуса на плюс — минимум; одна лишь нулевая производная экстремума не гарантирует.

Правила дифференцирования выводятся из определения производной и свойств пределов. Для суммы производные складываются, для произведения учитываются изменения обоих множителей, а для частного применяется формула с квадратом знаменателя. В сложной функции сначала дифференцируют внешнюю, затем умножают результат на производную внутренней: (f(g(x)))′ = f′(g(x))g′(x).

Производные основных элементарных функций

Сначала определите вид выражения, затем найдите производные его частей и примените нужное правило. В таблице указаны стандартные формулы; ограничения особенно важны для логарифма, дроби и тригонометрических функций.

Разбор задач

Многочлен и значение производной

Условие: найти производную f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7 и вычислить её значение при x = 1. Многочлен дифференцируется почленно. Постоянное слагаемое исчезает, потому что его производная равна нулю.

1. Применяем степенное правило: f′(x) = 12x³ − 10x.
2. Подставляем x = 1: f′(1) = 12 · 1³ − 10 · 1 = 2.

Ответ: f′(x) = 12x³ − 10x; f′(1) = 2.

Производная произведения

Условие: найти производную y = (x² + 1)sin x. Здесь множителями являются u = x² + 1 и v = sin x. Нельзя перемножать их производные, поэтому используем специальное правило.

1. Находим производные множителей: u′ = 2x, v′ = cos x.
2. Подставляем их в формулу: y′ = u′v + uv′ = 2x sin x + (x² + 1)cos x.

Ответ: y′ = 2x sin x + (x² + 1)cos x.

Возрастание, убывание и экстремумы

Условие: для y = x³ − 3x² − 9x найти промежутки возрастания и убывания, критические точки и экстремумы. Сначала исследуем знак производной, потому что именно он определяет направление изменения функции.

1. Находим y′ = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3). Критические точки: x = −1 и x = 3.
2. Знаки производной: на (−∞; −1) она положительна, на (−1; 3) отрицательна, на (3; +∞) положительна.
3. Функция возрастает на (−∞; −1) и (3; +∞), убывает на (−1; 3). В x = −1 знак меняется с плюса на минус, значит, это максимум; в x = 3 — с минуса на плюс, значит, минимум.
4. Вычисляем значения: y(−1) = 5, y(3) = −27.

Ответ: максимум (−1; 5), минимум (3; −27); промежутки возрастания и убывания указаны выше.

Типичные ошибки

Путают производную со значением функции в точке. Такое происходит, потому что обе величины обозначают числа, но f(x₀) задаёт высоту графика, а f′(x₀) — его наклон; проверьте смысл и единицы измерения.

Забывают делить приращение функции на приращение аргумента перед переходом к пределу. Тогда исчезает основная идея определения; выпишите сначала дробь Δf/Δx и только потом устремляйте Δx к нулю.

Производную произведения записывают как произведение производных. Ошибка возникает из-за сходства с правилом суммы; используйте формулу (uv)′ = u′v + uv′ и мысленно проверьте, учтено ли изменение каждого множителя.

Игнорируют область определения и точки, где производная не существует. Например, ln x определён только при x > 0, а tg x — не при всех x; после вычислений сопоставьте ответ с исходной областью.

Связь с другими темами

Для определения производной нужны предел функции, приращения, угловой коэффициент прямой и свойства элементарных функций. Производная помогает исследовать функции, находить экстремумы и строить графики. Далее она применяется в задачах на скорость, касательную и оптимизацию, а также подводит к изучению первообразной и интеграла.

Что запомнить

• Производная — предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику.
• Положительная производная указывает на возрастание функции, отрицательная — на убывание.
• Производная постоянной функции равна нулю.
• Производная суммы равна сумме производных.
• При вычислении производной сложной функции учитывают внешнюю и внутреннюю функции.
• Наличие производной в точке означает непрерывность функции в этой точке.