"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Корень n-й степени — число, которое после возведения в степень n даёт заданное число. Корни помогают выполнять действие, обратное возведению в степень, упрощать выражения и решать уравнения. Нужно различать чётные и нечётные показатели: для первых ограничено существование действительного корня, а арифметический корень всегда неотрицателен. Главные правила связаны с произведением, частным и степенью.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — число b, такое что bⁿ = a. Его обозначают ⁿ√a. Это действие обратно возведению в степень: по результату степени ищут исходное число.
Показатель корня n — натуральное число, записанное слева сверху у знака корня. Оно показывает, в какую степень нужно возвести результат. У квадратного корня показатель 2 обычно не пишут: √a.
Арифметический корень n-й степени при чётном n — неотрицательное значение корня из неотрицательного числа. Такое уточнение отделяет один выбранный результат от двух решений уравнения xⁿ = a.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. Именно оно определяет значение корня и задаёт ограничения: например, подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным.
Возведение в степень умножает число само на себя несколько раз, а извлечение корня восстанавливает число по результату этого действия. Поэтому определение записывают как bⁿ = a: найденное b обязано пройти обратную проверку возведением в степень. Например, из равенства 3³ = 27 следует ³√27 = 3.
Чётность показателя меняет картину знаков. Чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует; нечётная степень сохраняет знак числа и позволяет извлечь корень из любого a. При чётном показателе положительное число связано с двумя противоположными решениями уравнения, а при нечётном — с одним.
Арифметический корень выбирают неотрицательным, чтобы обозначение имело единственное значение. Например, уравнение x² = 25 даёт x = 5 и x = −5, но √25 означает только 5. Второе решение появляется не из знака корня, а при решении самого уравнения.
Правила корней следуют из свойств степеней. Если множители неотрицательны, то ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b, а полный квадрат или другая полная n-я степень выносится наружу: √(b²a) = |b|√a. Обратное внесение выполняют так же, но при чётном показателе знак множителя учитывают модулем.
Любое преобразование корня нужно выполнять в области допустимых значений. Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а в формуле с частным знаменатель не должен быть равен нулю. Если при решении уравнения возводят обе части в степень или сокращают выражение, найденные значения проверяют в исходной записи.
| Свойство | Условие | Формула или вывод | Ограничения |
|---|---|---|---|
| Существование корня | Чётный n | Корень существует только при a ≥ 0 | Арифметический корень неотрицателен |
| Существование корня | Нечётный n | Корень существует при любом действительном a | Знак корня совпадает со знаком a |
| Степенная проверка | Любой допустимый случай | (ⁿ√a)ⁿ = a | Для чётного n требуется a ≥ 0 |
| Корень из произведения | Допустимые неотрицательные множители | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | Для чётного n подкоренные множители неотрицательны |
| Корень из частного | b ≠ 0 | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b | Нужно учитывать область определения дроби |
| Корень из степени | Допустимые значения | ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n и a при нечётном n | Модуль нельзя опускать при чётном показателе |
| Вынесение множителя | Подкоренное выражение содержит множитель в n-й степени | ⁿ√(bⁿ · a) = |b|ⁿ√a при чётном n и bⁿ√a при нечётном n | Знак множителя зависит от чётности n |
Сначала определите показатель корня и проверьте допустимость всех выражений. Затем выберите нужную строку: произведение и частное можно разделять, а степень — преобразовывать с учётом модуля.
Таблица особенно полезна при упрощении: выделите полный квадрат или полную n-ю степень, вынесите её и отдельно проверьте знак вынесенного множителя.
Условие: вычислить √144, ³√(−125) и ⁴√81. Нужно найти такие числа, соответствующие степени корня, и проверить их знак.
Ответ: 12; −5; 3.
Условие: упростить √(72x²). Выражение определено при любом действительном x, так как 72x² ≥ 0.
Ответ: 6|x|√2. Модуль необходим, поскольку x может быть отрицательным.
Условие: решить x⁴ − 5x² + 4 = 0. В выражении повторяется x², поэтому заменим его новой переменной.
Ответ: x = −2, −1, 1, 2.
Ошибка: считать, что √(a²) = a. Так поступают, забывая о неотрицательности арифметического корня; проверка знака показывает правильную запись √(a²) = |a|.
Ошибка: извлекать действительный корень чётной степени из отрицательного числа. Причина — механическое применение правила без проверки области допустимых значений; нужно убедиться, что подкоренное выражение не меньше нуля.
Ошибка: записывать √(a + b) = √a + √b. Свойство произведения ошибочно переносят на сумму; проверить себя можно подстановкой чисел, например √(1 + 4) ≠ √1 + √4.
Ошибка: при решении уравнения с чётной степенью оставлять один корень или пропускать проверку. Уравнение x² = c обычно даёт пару противоположных значений, а возведение в степень может добавить посторонние; выпишите оба знака и подставьте ответы в исходное уравнение.
До изучения корней нужны свойства степеней, понятие области определения выражения и навыки решения квадратных уравнений. Корни применяются при преобразовании степенных выражений, а также при решении иррациональных уравнений и неравенств. Далее эта тема поможет понять степенную функцию, дробные показатели степени и показательные преобразования.
Почему √25 равен только 5, если уравнение x² = 25 имеет два решения?
Знак √ обозначает арифметический квадратный корень, то есть неотрицательное число. Поэтому √25 = 5, а уравнение x² = 25 имеет два решения: x = 5 и x = −5.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: любая чётная степень числа неотрицательна. Например, выражение ⁴√(−16) не имеет действительного значения.
Почему √(x²) превращается в |x|?
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Если x отрицателен, число, квадрат которого равен x², выбирается с противоположным знаком, поэтому √(x²) = |x|.
Можно ли складывать корни по отдельности?
Обычно нельзя: равенство √(a + b) = √a + √b неверно. Свойства корней позволяют разделять произведение и частное при выполнении нужных ограничений, но не сумму.
Зачем проверять корни после решения иррационального уравнения?
При возведении обеих частей в степень могут появиться посторонние решения. Подстановка найденных значений в исходное уравнение показывает, какие из них действительно подходят.
8. Корни
