10*. Вычисление пределов рекуррентно заданных последовательностей

Определения и обозначения

Рекуррентно заданная последовательность — последовательность, каждый следующий член которой выражается через предыдущие. Например, в формуле aₙ₊₁ = f(aₙ) значение aₙ₊₁ строится после нахождения aₙ. Такой способ удобен, когда члены нельзя или не нужно записывать одной явной формулой.

Рекуррентное соотношение — формула, связывающая соседние или несколько последующих членов последовательности. Оно описывает правило перехода от уже известных значений к новым. По этому правилу выполняют последовательные шаги вычисления.

Начальный член — заданное значение, с которого начинается построение последовательности, например a₁ = 0. Одной формулы перехода недостаточно: без начального значения нельзя определить ни a₂, ни остальные члены. Если используются несколько предыдущих членов, задают несколько начальных условий.

Предел последовательности — число, к которому приближаются её члены при неограниченном росте номера. Записывают lim aₙ = L при n → ∞. Знание предела позволяет описать поведение бесконечной последовательности одним числом.

Как это устроено

Одной рекуррентной формулы недостаточно, потому что она задаёт лишь правило перехода, но не отправную точку. Например, равенство aₙ₊₁ = aₙ + 1 выполняется для бесконечного множества последовательностей, отличающихся значением a₁. Начальные члены вместе с формулой делают построение однозначным.

Если предел существует, то aₙ и aₙ₊₁ приближаются к одному и тому же числу L: сдвиг номера на единицу не меняет предельного значения. Поэтому при непрерывной функции f можно перейти к пределу в равенстве aₙ₊₁ = f(aₙ) и получить L = f(L). Непрерывность нужна, чтобы предел f(aₙ) совпадал с f(L).

Уравнение для L может иметь несколько корней, но не каждый из них является пределом данной последовательности. Например, если все aₙ положительны, отрицательный корень исключается; если члены лежат в [1; 2], корень вне этого промежутка невозможен. Поэтому корни проверяют по области определения формулы и по уже доказанным свойствам последовательности.

Самый распространённый способ доказать существование предела — установить монотонность и ограниченность. Возрастающая последовательность должна иметь верхнюю границу, а убывающая — нижнюю. Тогда по теореме о монотонной ограниченной последовательности она сходится.

Для исследования монотонности сравнивают соседние члены, чаще всего находят знак разности aₙ₊₁ − aₙ. Преобразование рекуррентной формулы помогает одновременно увидеть этот знак и проверить, сохраняются ли члены в нужном промежутке. После доказательства сходимости решают уравнение для L и выбирают корень, согласующийся с установленными ограничениями.

Основные приёмы вычисления пределов рекуррентных последовательностей

Таблица помогает выбрать порядок действий: сначала исследуйте сами члены последовательности, затем переходите к уравнению для предела. Формальное решение уравнения без проверки свойств последовательности недостаточно.

Разбор задач

1. Среднее арифметическое с числом 4

Последовательность задана: a₁ = 0, aₙ₊₁ = (aₙ + 4) / 2. Нужно не только решить уравнение для предполагаемого предела, но и подтвердить сходимость.

1. Докажем по индукции, что 0 ≤ aₙ < 4. При 0 ≤ aₙ < 4 имеем 2 ≤ aₙ₊₁ < 4, а начальное значение удовлетворяет условию.
2. Найдём разность: aₙ₊₁ − aₙ = (4 − aₙ) / 2 > 0. Значит, последовательность возрастает.
3. Она возрастает и ограничена сверху числом 4, поэтому сходится.
4. Пусть её предел равен L. Тогда L = (L + 4) / 2, откуда L = 4.

Ответ: lim aₙ = 4.

2. Последовательность с квадратным корнем

Дано: a₁ = 1, aₙ₊₁ = √(2 + aₙ). Корень требует проверить область определения, а для выбора предела понадобится сохранить подходящий промежуток.

1. Покажем, что 1 ≤ aₙ ≤ 2. Если 1 ≤ aₙ ≤ 2, то 3 ≤ 2 + aₙ ≤ 4, поэтому √3 ≤ aₙ₊₁ ≤ 2; в частности, члены остаются в нужной области.
2. Для 1 ≤ aₙ < 2 имеем aₙ₊₁ > aₙ, поскольку после возведения в квадрат неравенство равносильно 2 + aₙ > aₙ².
3. Последовательность возрастает и ограничена сверху числом 2, значит, имеет предел L.
4. Переход к пределу даёт L = √(2 + L). Поэтому L² − L − 2 = 0, то есть L = 2 или L = −1. Из условия 1 ≤ L ≤ 2 подходит только L = 2.

Ответ: lim aₙ = 2.

3. Итерации для вычисления √2

Пусть a₁ = 1, aₙ₊₁ = ½(aₙ + 2/aₙ). Эта формула использует деление, поэтому сначала нужно доказать положительность всех членов и установить поведение после первого шага.

1. Все члены положительны: a₁ > 0, а среднее двух положительных чисел снова положительно.
2. a₂ = 3/2 > √2. Если x > √2, то ½(x + 2/x) > √2 и ½(x + 2/x) < x, потому что x² > 2. Значит, начиная с a₂, последовательность убывает и ограничена снизу числом √2.
3. Следовательно, она сходится. При L > 0 получаем L = ½(L + 2/L), откуда L² = 2.
4. Положительный корень равен √2, он и является пределом.

Ответ: lim aₙ = √2.

Типичные ошибки

Сразу решают L = f(L). Корень такого уравнения ещё не доказывает существование предела: последовательность может колебаться или не быть ограниченной. Проверьте сначала монотонность и ограниченность либо примените другой признак сходимости.

Выбирают любой корень. Это происходит, когда не учитывают знак членов и начальные условия. Сопоставьте каждый корень с областью определения и промежутком, в котором лежит последовательность.

Путают начальный член и первый шаг. Из a₁ = c следует, что a₂ находят подстановкой именно a₁, а не заменой индекса. Полезно выписать отдельно a₁, затем a₂ и только потом общий переход.

Судят о монотонности по нескольким членам. Первые значения могут создавать обманчивую закономерность. Для доказательства найдите знак разности aₙ₊₁ − aₙ при произвольном n или используйте сравнение соседних членов.

Связь с другими темами

Для решения нужны пределы последовательностей, свойства монотонных и ограниченных последовательностей и теорема об их сходимости. Также понадобятся навыки решения уравнений и неравенств, работы с квадратными корнями, дробями и областью допустимых значений. Эти методы связаны с численными методами и приближённым решением уравнений: рекуррентная формула может задавать последовательные приближения к искомому числу.

Что запомнить

• Рекуррентная формула задаёт следующий член через предыдущие, но требует начальных условий.
• Решение уравнения L = f(L) даёт только возможные значения предела.
• Сначала нужно доказать сходимость последовательности, затем вычислять её предел.
• Основной способ доказательства сходимости — установить монотонность и ограниченность.
• При выборе корня учитывают область определения и свойства всех членов последовательности.
• Для непрерывной функции предельный переход в рекуррентном соотношении приводит к уравнению для предела.