§ 2. Предел функции в точке

Определения и обозначения

Предел функции в точке — число, к которому приближаются значения функции при приближении аргумента к заданной точке: lim при x→a f(x) = L. Это число описывает поведение функции рядом с точкой, а не обязательно её значение в самой точке. Понятие предела нужно, чтобы исследовать графики и функции, в том числе там, где значение не задано.

Окрестность точки — интервал вокруг этой точки, например (a − δ; a + δ), где δ > 0. При изучении предела рассматривают такие значения x, которые находятся в окрестности a, но могут не совпадать с a. Окрестность помогает точно описать смысл слов «достаточно близко».

Односторонний предел — предел при приближении аргумента к точке только слева или только справа. Слева пишут x → a−, а справа — x → a+. Такие пределы особенно нужны для кусочных функций и точек разрыва. Их сравнение показывает, существует ли обычный, двусторонний предел.

Бесконечно малая функция — функция, значения которой стремятся к нулю при приближении аргумента к заданной точке. Её обозначают, например, α(x), где α(x) → 0 при x → a. С её помощью можно записать приближение f(x) к L в виде f(x) = L + α(x).

Как это устроено

В записи lim при x→a f(x) условие x → a не означает, что x уже стал равен a. Мы наблюдаем значения функции в проколотой окрестности точки: x близок к a, но x ≠ a. Это особенно важно, когда формула не имеет смысла при x = a, хотя рядом с точкой функция ведёт себя вполне определённо. Поэтому предел может существовать даже у функции с «выколотой» точкой.

Геометрически нужно смотреть не на одну точку графика, а на точки, абсциссы которых приближаются к a. Если их ординаты приближаются к высоте L, то говорят, что f(x) стремится к L. На графике это выглядит как приближение обеих частей кривой к уровню y = L около x = a. При этом самой точки с координатами (a; L) на графике может не быть.

При движении к a слева и справа функция может вести себя по-разному, поэтому сначала рассматривают два направления. Если левый и правый пределы равны одному числу L, оба направления согласуются и общий предел существует. Если хотя бы один предел не существует или значения различаются, единого числа приближения нет. Именно поэтому проверка односторонних пределов является необходимой для кусочных функций.

Для многочлена или линейного выражения предел обычно находят непосредственной подстановкой: непрерывность таких функций позволяет заменить x на a. У дробно-рационального выражения подстановка иногда даёт 0/0, потому что числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль. Это не ответ, а сигнал преобразовать формулу: разложить многочлен на множители, сократить общий множитель при x ≠ a, а затем подставить значение. Связь с бесконечно малой функцией объясняет сам смысл приближения: если f(x) = L + α(x), а α(x) → 0, то f(x) → L.

Виды предела и связанные с ним понятия

Сначала определите, какой объект требуется найти: значение f(a), левый, правый или общий предел. Для общего предела сравните два направления, а затем проверьте, к одному ли числу приближаются значения функции. Таблица также помогает не путать поведение функции около точки с её значением в самой точке.

Разбор задач

Задача 1. Найти lim при x→2 (3x − 1). Выражение является линейной функцией, поэтому его поведение около точки не требует дополнительных преобразований.

1. Подставим вместо x число 2: 3 · 2 − 1.
2. Выполним вычисления: 6 − 1 = 5.
3. Запишем результат: lim при x→2 (3x − 1) = 5.

Ответ: 5. Здесь предел совпадает со значением линейной функции в точке, потому что линейная функция непрерывна.

Задача 2. Найти lim при x→1 (x² − 1)/(x − 1). Простая подстановка даёт 0/0, поэтому сначала нужно изменить вид выражения, не меняя его при x ≠ 1.

1. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
2. При x ≠ 1 сократим множитель x − 1: (x² − 1)/(x − 1) = x + 1.
3. Теперь найдём предел простой функции: lim при x→1 (x + 1) = 2.

Ответ: 2. Исходная функция не определена при x = 1, но её предел существует; на графике это соответствует устранимому разрыву.

Задача 3. Исследовать предел при x→0 функции f(x) = x² + 1 при x < 0 и f(x) = ax + b при x ≥ 0. Нужно отдельно рассмотреть формулы слева и справа, потому что в точке задана кусочная функция.

1. Слева используем первую формулу: lim при x→0− (x² + 1) = 1.
2. Справа используем вторую формулу: lim при x→0+ (ax + b) = b.
3. Приравняем односторонние пределы: 1 = b, значит условие существования общего предела — b = 1.
4. Параметр a на равенство пределов не влияет, поскольку ax → 0 при x → 0.

Ответ: общий предел существует при b = 1 и равен 1; параметр a может быть любым.

Типичные ошибки

Предел считают равным значению функции. Так делают, потому что в привычных непрерывных функциях эти числа совпадают. Проверьте, задана ли функция в точке и не рассматривается ли разрыв.

После подстановки 0/0 объявляют предел несуществующим. Неопределённость часто возникает из-за неудачного вида формулы, а не из-за отсутствия предела. Разложите выражение на множители или выполните другое допустимое преобразование и повторите подстановку.

Путают направление приближения. Один и тот же x нельзя одновременно считать приближающимся только слева и только справа. Для общего предела отдельно найдите оба односторонних предела и сравните их.

Сокращают x − a без оговорки. В точке x = a этот множитель равен нулю, поэтому сокращение допустимо лишь при x ≠ a. Запишите это условие: при вычислении предела оно сохраняет поведение функции в проколотой окрестности.

Связь с другими темами

Для изучения предела нужны представления о функции, области определения, числовой прямой и приближении переменной к числу. Предел станет основой для определения непрерывности и производной, а также для исследования асимптот графика. Умение раскладывать многочлены, сокращать дроби и применять тождества помогает устранять неопределённость 0/0.

Что запомнить

• Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не обязательно её значение в этой точке.
• В записи x → a значения x приближаются к a, но могут не быть равны a.
• Общий предел существует, если левый и правый пределы существуют и равны.
• У непрерывной функции предел в точке равен значению функции в этой точке.
• Неопределённость 0/0 требует преобразования выражения, а не немедленного вывода о несуществовании предела.
• Предел может существовать даже тогда, когда функция в рассматриваемой точке не определена.