2. Предел функции в точке

Определения и обозначения

Предел функции в точке — число, к которому приближаются значения функции при приближении аргумента к данной точке, независимо от значения функции в самой точке. Записывают: lim f(x) = A при x → a. Это понятие позволяет описывать поведение функции рядом с точкой, даже если сама точка исключена из области определения.

Окрестность точки — промежуток вокруг точки a, задаваемый условием |x − a| < δ, где δ > 0. Число δ определяет радиус этого промежутка: чем оно меньше, тем ближе x к a. Окрестности нужны, чтобы точно говорить о приближении аргумента.

Проколотая окрестность — окрестность без самой точки: 0 < |x − a| < δ. Условие 0 < |x − a| запрещает брать x = a, но разрешает любые достаточно близкие значения с обеих сторон. Именно в такой области обычно исследуют предел.

Односторонний предел — предел функции при приближении аргумента к точке только слева или только справа. Слева пишут x → a−, справа — x → a+. Сравнение этих двух пределов помогает установить, существует ли общий предел.

Как это устроено

При нахождении предела рассматривают x, близкие к a, потому что предел описывает поведение функции около точки, а не её отдельное значение. В самой точке функция может быть не определена, иметь другое значение или быть задана особым образом. Если два выражения совпадают во всей проколотой окрестности, их пределы в этой точке одинаковы, даже когда значения в точке различаются.

ε-δ-определение переводит идею приближения на точный язык: для любого ε > 0 можно подобрать δ > 0 так, чтобы из условия 0 < |x − a| < δ следовало |f(x) − A| < ε. Иными словами, как бы узко ни потребовали приблизить значения функции к A, достаточно сузить окрестность аргумента. Число ε задаёт допустимую ошибку по значениям функции, а δ — необходимую близость аргумента.

При приближении к a слева и справа функция может вести себя по-разному, поэтому одного направления недостаточно. Общий предел существует тогда и только тогда, когда левый предел равен правому и оба являются конечными. Если, например, слева значения стремятся к 1, а справа к 2, единого числа, к которому приближается функция, нет.

Правила для пределов следуют из правил действий над числами: если f(x) стремится к A, а g(x) — к B, то их сумма стремится к A + B, разность — к A − B, а произведение — к AB. При умножении на постоянную c предел равен cA. Для частного правило работает только при B ≠ 0, потому что деление на число, равное нулю, не определено.

Если выражение непрерывно в точке, его предел находят обычной подстановкой x = a: малое изменение аргумента вызывает малое изменение значения. Поэтому для многочленов и многих стандартных функций подстановка действует сразу. Результат 0/0 означает, что подстановка скрыла сокращаемый множитель или другую особенность; выражение нужно предварительно преобразовать.

Основные правила вычисления пределов

Сначала проверьте, существуют ли пределы отдельных частей выражения, а затем выберите подходующее правило. В частном отдельно контролируйте предел знаменателя: его ненулевое значение является обязательным условием. Если после подстановки появляется 0/0, таблица не даёт ответа — сначала преобразуйте выражение.

Для сложной функции удобно сначала найти предел внутреннего выражения, а затем подставить его в непрерывную внешнюю функцию. Например, если g(x) → 2, то при непрерывной F имеем F(g(x)) → F(2). Такой порядок предотвращает подстановку в неподходящее выражение.

Разбор задач

Задача 1. Найти предел функции при x → 2: 3x − 1.

1. Выражение 3x − 1 является линейной функцией, а линейные функции непрерывны при всех значениях x.
2. Поэтому можно сразу заменить x на 2: 3 · 2 − 1 = 6 − 1 = 5.
3. Записываем результат: lim(3x − 1) = 5 при x → 2.

Ответ: 5.

Задача 2. Найти предел при x → 1: (x² − 1)/(x − 1).

1. Прямая подстановка даёт (1² − 1)/(1 − 1) = 0/0, поэтому результат пока определить нельзя.
2. Разложим числитель: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). В проколотой окрестности точки 1 множитель x − 1 не равен нулю, поэтому его можно сократить.
3. Остаётся выражение x + 1. Теперь подставляем x = 1: 1 + 1 = 2.

Ответ: 2.

Задача 3. Исследовать предел при x → 0 функции f(x) = 1 при x < 0 и f(x) = 2 при x ≥ 0.

1. Слева от нуля функция постоянно равна 1, поэтому левый предел равен 1.
2. Справа от нуля функция постоянно равна 2, поэтому правый предел равен 2. Значение f(0) = 2 для проверки общего предела роли не играет.
3. Левый и правый пределы не совпадают, следовательно, общего предела при x → 0 не существует.

Ответ: общий предел не существует.

Типичные ошибки

Подмена предела значением функции. Ученик сразу пишет f(a), хотя предел и значение в точке описывают разные вещи. Они могут совпасть у непрерывной функции, но это не общее правило. Проверьте, спрашивается ли поведение при x → a или конкретное значение f(a).

Отмена множителя x − a без пояснения. Иногда сокращение воспринимают как равенство исходных функций во всех точках, хотя в точке a исходное выражение может быть не определено. Сокращать можно в проколотой окрестности, где x − a ≠ 0. После этого нужно отдельно выполнить подстановку в упрощённое выражение.

Применение правила частного при нулевом знаменателе. Запись правила требует, чтобы предел знаменателя был отличен от нуля. Если он равен нулю, деление пределов недопустимо, даже когда числитель тоже стремится к нулю. Проверьте знаменатель до использования формулы.

Проверка только одного направления. Значения с одной стороны могут приближаться к числу, а с другой — к другому числу. Поэтому один найденный односторонний предел ещё не доказывает существование общего. Всегда сравнивайте левый и правый пределы.

Связь с другими темами

До изучения пределов нужны понятия функции, области определения, окрестности точки и навыки действий с алгебраическими выражениями. Без них трудно понять, какие значения x можно рассматривать и почему допустимы преобразования.

Предел напрямую связан с непрерывностью: функция непрерывна в точке, если её предел совпадает со значением функции в этой точке. С помощью преобразований предела также находят и устраняют некоторые разрывы.

Пределы лежат в основе производной, которая описывает мгновенную скорость изменения функции. Они также помогают исследовать асимптоты и поведение графика при приближении к особым точкам или бесконечности.

Что запомнить

• Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не обязательно её значение в точке.
• При существовании конечного предела левый и правый пределы равны.
• Предел постоянной функции равен этой постоянной.
• Предел суммы равен сумме пределов, если соответствующие пределы существуют.
• Предел произведения равен произведению пределов.
• Правило частного применяют только при ненулевом пределе знаменателя.
• Неопределённость 0/0 нельзя считать результатом; выражение нужно преобразовать.