3. Свойства предела функции в точке и вычисление пределов

Определения и обозначения

Предел функции в точке — число, к которому стремятся значения f(x), когда x приближается к a. Запись lim при x → a f(x) = L читается так: «предел f(x) при x, стремящемся к a, равен L». Предел нужен, чтобы описывать поведение функции около точки, даже если значение в самой точке неизвестно.

Односторонний предел рассматривает приближение только с одной стороны: lim при x → a− f(x) — слева, а lim при x → a+ f(x) — справа. Обычный, или двусторонний, предел существует тогда и только тогда, когда эти два значения совпадают. Такое различие особенно важно в точках разрыва и для кусочно заданных функций.

Бесконечно малая функция — функция α(x), для которой α(x) стремится к нулю при x → a. Её можно использовать в записи f(x) = L + α(x): это означает, что отличие f(x) от L становится сколь угодно малым. Такое представление помогает увидеть саму идею приближения.

Предел существует, если левый и правый пределы в рассматриваемой точке равны одному и тому же числу. Если хотя бы один из них не существует или значения различаются, двустороннего предела нет. Поэтому проверка сторон является критерием существования предела.

Как это устроено

Геометрически точка графика приближается к уровню y = L, когда её абсцисса приближается к a. При этом сама точка с x = a может быть выколота, а функция может иметь в ней другое значение или вовсе не быть определена. Предел отвечает не на вопрос «чему равна функция в точке», а на вопрос «к чему стремятся её значения рядом с точкой».

Слева от a аргумент принимает значения, меньшие a, а справа — большие a. Если график с двух сторон подходит к разным высотам, нельзя выбрать одно число, к которому приближается функция. Поэтому совпадение левого и правого пределов является необходимым условием существования обычного предела.

Свойства предела позволяют заменить сложное выражение несколькими простыми: предел суммы находят сложением пределов, предел разности — вычитанием, предел произведения — умножением. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, а в частном отдельно находят пределы числителя и знаменателя. Последнее правило применяют только тогда, когда предел знаменателя не равен нулю.

Для многочлена все действия сложения и умножения сохраняют предел, поэтому достаточно подставить x = a. Рациональная функция также допускает подстановку, если после неё знаменатель не равен нулю. Если получается 0/0, это не ответ, а сигнал преобразовать выражение: разложить на множители, домножить на сопряжённое или применить основной тригонометрический предел.

Основные свойства и формулы предела

Таблица служит кратким алгоритмом: сначала определите вид выражения, затем проверьте условия применения формулы. Если подстановка приводит к нулевому знаменателю или к 0/0, используйте преобразования до применения свойств.

Разбор задач

Линейная функция

Задача. Найти lim при x → 2 (3x − 1). Линейное выражение является многочленом, поэтому его предел равен значению выражения при x = 2. Неопределённость здесь не возникает.

1. Подставим 2 вместо x: 3 · 2 − 1.
2. Выполним вычисления: 6 − 1 = 5.

Ответ: 5.

Разложение на множители

Задача. Найти lim при x → 1 (x² − 1)/(x − 1). Прямая подстановка даёт 0/0, поэтому сначала нужно преобразовать дробь. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов.

1. Запишем x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
2. При x ≠ 1 сократим общий множитель x − 1: получим x + 1.
3. Найдём предел упрощённого выражения: 1 + 1 = 2.

Сокращение разрешено, потому что при вычислении предела рассматриваются значения, достаточно близкие к 1, но не равные 1. Ответ: 2.

Домножение на сопряжённое

Задача. Найти lim при x → 0 (√(1 + x) − 1)/x. Подстановка снова даёт 0/0, а корень удобно убрать с помощью сопряжённого выражения √(1 + x) + 1.

1. Домножим числитель и знаменатель на √(1 + x) + 1.
2. В числителе применим формулу разности квадратов: (1 + x) − 1 = x.
3. Сократим x и получим 1/(√(1 + x) + 1).
4. Подставим x = 0: 1/(1 + 1) = ½.

Смысл приёма в том, что сопряжённое выражение превращает разность корней в разность квадратов. Ответ: ½.

Типичные ошибки

Функция обязательно должна быть определена в точке. Это неверно: предел описывает значения рядом с точкой. Проверьте область определения в самой точке отдельно от поведения функции около неё.

Подстановка при нулевом знаменателе. Получение 0/0 не означает, что предел равен нулю или не существует. Преобразуйте выражение и только затем подставляйте значение.

Сокращение без условия. Общий множитель можно сократить лишь при его ненулевом значении, то есть в проколотой окрестности точки. Укажите это условие и убедитесь, что сокращение не меняет выражение рядом с нужной точкой.

Путаница с односторонним пределом. Значения с одной стороны ещё не описывают двусторонний предел. Если есть сомнения, найдите пределы слева и справа и сравните их.

Связь с другими темами

Для вычисления пределов нужны разложение многочленов на множители, формулы сокращённого умножения, действия с дробями и свойства элементарных функций. Предел станет основой определения непрерывности: функция непрерывна, если её предел совпадает со значением в точке. Далее пределы используются при нахождении производной, исследовании асимптот и изучении поведения функций.

Что запомнить

• Предел описывает поведение функции при приближении аргумента к точке.
• Значение функции в точке и её предел в этой точке могут различаться.
• Двусторонний предел существует, если совпадают левый и правый пределы.
• Предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов.
• При вычислении предела частного предел знаменателя должен быть отличен от нуля.
• Неопределённость 0/0 нельзя считать ответом: её нужно преобразовать.
• Для тригонометрических пределов особенно важен предел sin x / x при x → 0.