4. Функции, бесконечно большие при х —» а; вертикальные асимптоты

Определения и обозначения

Бесконечно большая функция при x → a — функция, значения которой по модулю неограниченно возрастают при приближении x к a. Иными словами, можно выбрать любое большое число, и в достаточно близкой окрестности точки значения функции превысят его по модулю. Это понятие описывает поведение функции около точки, а не её значение в самой точке.

Бесконечный предел — запись lim f(x) = +∞ или lim f(x) = −∞. Знак показывает, становятся ли значения функции большими положительными или большими отрицательными числами. Такая запись нужна, чтобы кратко передать неограниченный рост или спад функции.

Односторонний предел описывает поведение функции при приближении к a только слева или только справа. Используют обозначения x → a− и x → a+ соответственно. Это помогает увидеть различия в поведении графика по разные стороны одной точки.

Вертикальная асимптота — вертикальная прямая x = a, к которой график приближается при неограниченном возрастании значения функции по модулю. Обычно функция в точке a не определена. Асимптота показывает важную особенность графика и помогает строить его эскиз.

Как это устроено

Бесконечность не является числом, поэтому функция не может иметь значение, равное бесконечности. Запись lim f(x) = +∞ не утверждает, что функция достигает некоторого последнего числа, а описывает возможность получать значения больше любого заранее выбранного числа. Именно поэтому бесконечный предел используют для характеристики поведения вблизи точки, а не как обычный результат подстановки.

По определению, lim f(x) = +∞ при x → a означает: для любого числа M > 0 найдётся такая близость к a, что f(x) > M. Для предела −∞ условие другое: для любого M > 0 выполняется f(x) < −M при достаточно близком x. В обоих случаях значения становятся сколь угодно большими по модулю, но знак определяет направление неограниченного изменения.

Слева от a и справа от a знаменатель или другой множитель выражения может иметь разные знаки. Поэтому одна ветвь графика способна уходить вверх, а другая — вниз, хотя обе приближаются к одной вертикальной прямой. Иногда бесконечным оказывается только один односторонний предел, а второй остаётся конечным или также становится бесконечным с другим знаком.

Если хотя бы один односторонний предел при x → a бесконечен, значения функции неограниченно удаляются вверх или вниз по мере приближения к прямой x = a. Это и означает наличие вертикальной асимптоты. Точка a может не входить в область определения, потому что деление на нуль невозможно, а сама асимптота является линией, к которой график приближается, но не обязана содержать его точки.

У рациональной функции сначала находят нули знаменателя: именно там возможны вертикальные асимптоты. Затем числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают общие множители, если это допустимо вне точек, где исходная функция не определена. После сокращения исследуют оставшиеся нули знаменателя: если числитель не обращается там в нуль одновременно, возникает бесконечный предел и вертикальная асимптота.

Поведение функции при приближении к точке x = a

Сначала определите, с какой стороны приближается x к a, а затем установите знак выражения. Если хотя бы в одном столбце для одностороннего поведения появляется бесконечный предел, прямая x = a будет вертикальной асимптотой. Конечные пределы или ограниченность функции около точки сами по себе асимптоту не дают.

Разбор задач

Задача 1

Условие: исследовать f(x) = 3/(x − 2) при x → 2 слева и справа и указать вертикальную асимптоту. Числитель равен 3 и всегда положителен. Значит, знак дроби определяется только знаком знаменателя.

1. При x → 2− имеем x − 2 < 0, причём знаменатель приближается к нулю. Поэтому дробь с положительным числителем становится неограниченно отрицательной: lim f(x) = −∞.
2. При x → 2+ имеем x − 2 > 0 и x − 2 → 0. Дробь становится неограниченно положительной: lim f(x) = +∞.
3. Хотя бы один односторонний предел бесконечен, поэтому по определению вертикальной асимптоты прямая проходит через значение, к которому приближается x.

Ответ: lim f(x) = −∞ при x → 2−, lim f(x) = +∞ при x → 2+. Вертикальная асимптота: x = 2.

Задача 2

Условие: найти вертикальную асимптоту f(x) = (x + 1)/(x − 3) и определить односторонние пределы при x → 3. Нуль знаменателя даёт единственную возможную точку x = 3. Числитель около этой точки положителен, так как x + 1 близко к 4.

1. При x → 3− знаменатель отрицателен и стремится к нулю, а числитель положителен. Поэтому f(x) → −∞.
2. При x → 3+ знаменатель положителен и стремится к нулю. Отношение положительных чисел, делённых на очень малое положительное число, стремится к +∞.
3. В точке x = 3 знаменатель равен нулю, сокращения с числителем нет. Значит, бесконечные пределы подтверждают вертикальную асимптоту.

Ответ: x = 3; lim f(x) = −∞ при x → 3− и lim f(x) = +∞ при x → 3+.

Задача 3

Условие: исследовать f(x) = (x² − 1)/((x − 2)²(x + 1)). Возможные точки нужно получить из нулей знаменателя: x = 2 и x = −1. Но до вычисления пределов следует проверить общие множители.

1. Разложим числитель: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Сокращаем множитель x + 1 и получаем (x − 1)/(x − 2)² при x ≠ −1, 2.
2. В точке x = −1 сокращённое выражение имеет конечный предел (−2)/9. Исходная функция там не определена, но бесконечного роста нет, поэтому вертикальной асимптоты не возникает.
3. При x → 2 числитель сокращённого выражения стремится к 1, а квадрат (x − 2)² — к положительному нулю. С обеих сторон предел равен +∞.

Ответ: возможные точки — x = −1 и x = 2; фактическая вертикальная асимптота только x = 2. Точка x = −1 является устранимым разрывом.

Типичные ошибки

Нуль знаменателя считают асимптотой автоматически. Так делают, потому что в дроби нельзя подставить нуль, но неопределённость ещё не означает бесконечный рост. Разложите числитель и знаменатель на множители и проверьте сокращение.

Бесконечный предел принимают за число. Ученик может записать f(a) = +∞, хотя бесконечность не является значением функции. Проверяйте, идёт ли речь о пределе при приближении или о значении в самой точке.

Не различают левую и правую стороны. Из-за этого знак знаменателя определяют одинаково и получают неверный знак предела. Подставьте пробное число чуть меньше a и чуть больше a, затем сравните знаки.

Считают, что асимптота обязана проходить через график. Вертикальная прямая x = a обычно соответствует точке, где функция не определена, и график лишь приближается к ней. Самопроверка проста: найдите область определения и не отмечайте на графике точку, исключённую из неё.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны предел функции в точке и односторонние пределы. Также понадобятся свойства дробей, правила определения знака произведения и разложение многочленов на множители. Без этих навыков трудно правильно исследовать нули знаменателя.

Бесконечные пределы применяются при полном исследовании функций и построении графиков. Они помогают определить поведение ветвей около точек разрыва и понять, в какую сторону направляются значения функции.

Вертикальные асимптоты встречаются при дальнейшем изучении рациональных, логарифмических и тригонометрических функций. Похожий способ анализа позволяет исследовать разные виды разрывов и уточнять форму графика.

Что запомнить

• Бесконечный предел описывает неограниченный рост значения функции по модулю.
• Запись lim f(x) = +∞ означает рост функции без границ в положительную сторону.
• Запись lim f(x) = −∞ означает неограниченное уменьшение значения функции.
• Левый и правый пределы около одной точки могут различаться.
• Если хотя бы один односторонний предел бесконечен, прямая x = a является вертикальной асимптотой.
• Нуль знаменателя не всегда даёт асимптоту: общий множитель может сократиться.
• Значение функции в точке вертикальной асимптоты может не существовать.