5. Непрерывные функции

Определения и обозначения

Непрерывность функции в точке означает равенство lim f(x) при x → a и f(a). Иными словами, значение функции при приближении аргумента к a стремится именно к значению, заданному в точке. Это условие позволяет строго говорить, что в графике нет разрыва в данной точке.

Непрерывная функция — функция, непрерывная в каждой точке своей области определения или указанного промежутка. Проверять её нужно не в одной удобной точке, а на всём рассматриваемом множестве. Такое свойство позволяет применять к функции общие теоремы и правила.

Точка разрыва — точка, в которой функция не является непрерывной: значение может отсутствовать, предел может не существовать или предел может не совпадать со значением функции. На графике это проявляется проколом, скачком или неограниченным поведением. По точкам разрыва находят места, где обычные свойства непрерывных функций применять нельзя.

Теорема о промежуточных значениях утверждает: непрерывная на отрезке функция принимает каждое значение между f(a) и f(b). Например, если на концах отрезка значения имеют разные знаки, между ними обязательно встретится нулевое значение. Поэтому теорема помогает доказать существование корня, даже если вычислить его точно трудно.

Как это устроено

Равенство lim f(x) при x → a и f(a) исключает скачок: с обеих сторон график приближается к одной и той же высоте, которая отмечена самой точкой графика. Если предел есть, но значение функции другое, возникает скачок или прокол с неверно поставленной точкой. Если предела нет, к одной высоте приблизиться невозможно, поэтому непрерывность также нарушается.

На промежутке функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна в каждой его точке. Для внутренней точки сравнивают обычный двусторонний предел со значением функции. На левом конце отрезка достаточно правого предела, а на правом — левого, потому что с другой стороны точек данного отрезка нет.

Если две функции непрерывны в точке, то при сложении, вычитании или умножении их значения изменяются согласованно: предел каждой операции получается из пределов исходных функций. Поэтому сумма, разность и произведение сохраняют непрерывность. Для частного дополнительно требуется, чтобы знаменатель в рассматриваемой точке не был равен нулю, иначе деление не определено.

Многочлены непрерывны, потому что постоянные функции и функция x непрерывны, а сложение и умножение сохраняют это свойство. Показательная, логарифмическая и тригонометрические функции строятся так, что на каждой точке своей области определения их значения меняются без скачков. При составлении выражений из таких функций непрерывность сохраняется там, где выражение имеет смысл.

Теорема о промежуточных значениях связывает непрерывность с существованием корня. Если f(a) и f(b) имеют разные знаки, число 0 находится между ними, значит, непрерывная функция должна принять это значение в некоторой точке отрезка. Теорема гарантирует хотя бы один корень, но сама по себе не говорит, сколько корней всего и как их найти точно.

Основные признаки и свойства непрерывных функций

Таблицу удобно использовать как алгоритм проверки: сначала определите область допустимых значений, затем выберите строку, соответствующую виду функции или условию. Для сложного выражения применяйте свойства последовательно, начиная с известных элементарных функций. Отдельно проверяйте точки, где знаменатель обращается в ноль или меняется формула.

Разбор задач

Задача 1

Условие: проверить непрерывность функции f(x) = x² − 3x + 1 в точке x = 2. Это многочлен, поэтому можно воспользоваться общим свойством, но полезно записать проверку полностью.

1. Вычислим значение: f(2) = 2² − 3 · 2 + 1 = 4 − 6 + 1 = −1.
2. Так как многочлен непрерывен на всей числовой прямой, lim f(x) при x → 2 равен f(2), то есть −1.
3. Сравним результаты: предел равен значению функции, поэтому условие непрерывности выполнено.

Ответ: функция непрерывна в точке x = 2.

Задача 2

Условие: исследовать в точке x = 1 функцию f(x) = x² при x < 1 и f(x) = 2x − 1 при x ≥ 1. Точка x = 1 является местом склейки двух формул, поэтому обе части нужно сравнить.

1. По второй формуле f(1) = 2 · 1 − 1 = 1.
2. Левый предел равен lim x² при x → 1− = 1, а правый предел равен lim (2x − 1) при x → 1+ = 1.
3. Оба односторонних предела совпадают и равны f(1), значит, общий предел существует и равен значению функции.

Ответ: функция непрерывна при x = 1.

Задача 3

Условие: доказать, что уравнение x³ + x − 1 = 0 имеет корень на отрезке [0; 1]. Обозначим левую часть через f(x) = x³ + x − 1 и применим теорему о промежуточных значениях.

1. Функция f — многочлен, следовательно, она непрерывна на отрезке [0; 1].
2. Вычислим значения на концах: f(0) = −1, f(1) = 1 + 1 − 1 = 1.
3. Значения имеют разные знаки, поэтому между −1 и 1 находится число 0. По теореме существует c ∈ [0; 1], для которого f(c) = 0.

Ответ: уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [0; 1]. Теорема доказывает существование корня, но не даёт его точного значения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проверить только существование предела. Предел может существовать, но не совпадать со значением функции или сама функция может быть не определена в точке. Проверяйте три условия: есть f(a), существует предел, и результаты равны.

Вторая ошибка — объявить рациональную функцию непрерывной на всей числовой прямой. Нули знаменателя нужно исключить из области определения, потому что в них деление невозможно. Самопроверка проста: решите уравнение «знаменатель = 0» и отметьте полученные точки.

Третья ошибка — считать разрывом любой переход через точку, не входящую в область определения. Непрерывность проверяют в точках области определения, поэтому для 1/x число 0 является границей области, а не её внутренней точкой. Сначала выпишите область определения, и только потом анализируйте разрывы.

Четвёртая ошибка — применить теорему о промежуточных значениях без проверки непрерывности на всём отрезке. Разрыв внутри отрезка может нарушить вывод о существовании значения между f(a) и f(b). Перед применением теоремы убедитесь, что формула определена и непрерывна на каждом участке отрезка.

Связь с другими темами

Для изучения непрерывности нужны пределы функции, односторонние пределы, область определения и свойства элементарных функций. Тема помогает доказывать существование корней уравнений и понимать поведение графиков. Позже непрерывность понадобится при изучении производной, экстремумов и приближённых вычислений: она показывает, что малое изменение аргумента не вызывает скачка значения функции.

Что запомнить

• Функция непрерывна в точке, если предел при приближении к точке равен значению функции в ней.
• Непрерывность на промежутке означает непрерывность в каждой его точке.
• Многочлены непрерывны на всей числовой прямой.
• Рациональные функции непрерывны там, где их знаменатель не равен нулю.
• Сумма, разность и произведение непрерывных функций непрерывны.
• Непрерывная функция принимает все промежуточные значения.
• Разные знаки значений на концах отрезка гарантируют наличие корня внутри него.