6. Теоремы о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке

Определения и обозначения

Непрерывность функции на отрезке означает отсутствие разрывов во всех точках отрезка [a; b], в том числе в его концах. График такой функции можно мысленно провести одним движением, не отрывая карандаш. Это условие нужно, чтобы функция не могла «перепрыгнуть» через промежуточное значение.

Промежуточное значение функции — любое число, лежащее между f(a) и f(b). Например, если f(a) = 2, а f(b) = 7, промежуточными будут 3, 4, 5 и 6. Такие числа становятся объектами теоремы: она показывает, достигает ли их функция.

Теорема о промежуточном значении утверждает: непрерывная на [a; b] функция принимает каждое число между f(a) и f(b). Иными словами, для любого C между этими значениями найдётся c ∈ [a; b], для которого f(c) = C. Это позволяет доказывать существование нужного значения без явного поиска точки c.

Корень функции — значение аргумента, при котором функция обращается в ноль: f(c) = 0. На графике корню соответствует точка пересечения с осью Ox. Корни уравнения удобно искать с помощью теоремы о промежуточном значении.

Как это устроено

Непрерывность позволяет функции переходить от одного значения к другому постепенно: при малом изменении аргумента значение функции также меняется без скачка. Поэтому, если на концах отрезка получены числа f(a) и f(b), график не может перейти от одного к другому, минуя уровень между ними. Именно отсутствие разрывов превращает наблюдение о графике в математическую теорему.

Сначала вычисляют f(a) и f(b), а затем определяют диапазон между ними. Если f(a) ≤ f(b), подходят все C, для которых f(a) ≤ C ≤ f(b); если f(b) ≤ f(a), то f(b) ≤ C ≤ f(a). Для каждого такого C теорема обещает хотя бы одну точку c на отрезке [a; b], где функция принимает это значение.

Формально теорема выглядит так: если функция f непрерывна на [a; b], а число C лежит между f(a) и f(b), то существует c ∈ [a; b], такое что f(c) = C. Точка c может находиться внутри отрезка или совпадать с его концом. Теорема говорит о существовании точки, но не показывает алгоритм её точного вычисления.

Теорема о существовании корня получается выбором C = 0. Если f(a)·f(b) ≤ 0, значения имеют разные знаки или одно из них равно нулю, поэтому ноль лежит между f(a) и f(b). Следовательно, существует c ∈ [a; b], для которого f(c) = 0; это и есть корень.

Из теоремы нельзя заключить, что корень единственный. График может несколько раз пересекать ось Ox, сохраняя смену знака на концах или даже возвращаясь к нулю. Для единственности нужны дополнительные условия, например строгая монотонность функции на отрезке.

Теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции

В таблице сначала проверьте непрерывность, затем сравните значения на концах и выберите нужный уровень C. Вторая теорема является частным случаем первой при C = 0.

Разбор задач

1. Уравнение x³ − 2x − 1 = 0 на [1; 2]

Нужно доказать существование корня, поэтому рассматриваем f(x) = x³ − 2x − 1. Это многочлен, а значит, он непрерывен на всей числовой прямой.

1. Вычислим значения на концах: f(1) = 1 − 2 − 1 = −2, f(2) = 8 − 4 − 1 = 3.
2. Произведение f(1)·f(2) = −6 < 0, то есть значения имеют разные знаки.
3. По теореме о существовании корня найдётся c ∈ [1; 2], для которого f(c) = 0.

Ответ: уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [1; 2].

2. Уравнение 2ˣ = 3 − x на [0; 1]

Перенесём всё в левую часть и введём f(x) = 2ˣ + x − 3. Показательная функция и линейная функция непрерывны, поэтому их сумма непрерывна на [0; 1].

1. На левом конце f(0) = 1 + 0 − 3 = −2.
2. На правом конце f(1) = 2 + 1 − 3 = 0.
3. Так как f(1) = 0, точка x = 1 уже является корнем; также f(0)·f(1) = 0, что соответствует условию теоремы.

Ответ: уравнение имеет решение x = 1 на отрезке [0; 1].

3. Уравнение x³ − 3x + 1 = 0

Пусть f(x) = x³ − 3x + 1. Это многочлен, значит, он непрерывен. Найдём три непересекающихся отрезка со сменой знака.

1. f(−3) = −17, f(−2) = −1, а f(−1) = 3. Поэтому на [−2; −1] есть корень.
2. f(0) = 1, f(1) = −1. Поэтому на [0; 1] есть корень.
3. f(1) = −1, f(2) = 3. Поэтому на [1; 2] есть корень.
4. Каждый отрезок даёт корень, а их внутренние части не пересекаются, поэтому корни различны.

Ответ: уравнение имеет не менее трёх различных корней.

Типичные ошибки

1. Игнорируют непрерывность. Теорему применяют к дробно-рациональной функции на отрезке, через который проходит точка разрыва. Перед вычислением знаков проверьте, входит ли в отрезок запрещённое значение аргумента.

2. Требуют обязательной смены знака. Условие f(a)·f(b) ≤ 0 включает случай равенства нулю: корень уже находится на конце. Всегда отдельно вычисляйте оба значения, а не только проверяйте их знаки.

3. Делают вывод о единственности. Теорема гарантирует хотя бы один корень, но график может пересекать ось несколько раз. Для единственности ищите дополнительное условие, например строгую монотонность.

4. Берут любое значение функции. Теорема работает только для числа, лежащего между f(a) и f(b), а не для произвольного уровня. Запишите двойное неравенство с C и проверьте его перед применением.

Связь с другими темами

Для темы нужны понятия функции, отрезка и непрерывности, а также умение сравнивать числа и значения функции. Без них нельзя корректно определить условия теоремы.

На практике понадобятся вычисление f(a) и f(b), преобразование выражений и исследование знаков. Эти навыки помогают быстро находить подходящие концы отрезка.

Теоремы используют для доказательства существования корней, их локализации на малых отрезках и приближённого решения уравнений. Например, последовательное уточнение отрезка позволяет получить корень с нужной точностью.

Что запомнить

• Непрерывная на отрезке функция не пропускает промежуточных значений.
• Если число C лежит между f(a) и f(b), то существует c ∈ [a; b], для которого f(c) = C.
• Если f(a) и f(b) имеют разные знаки, на отрезке есть корень функции.
• Равенство нулю на конце отрезка также означает наличие корня.
• Теорема доказывает существование, но не единственность корня.
• Перед применением теоремы нужно проверить непрерывность функции на всём отрезке.