12*. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Определения и обозначения

Приближённое решение уравнения — число, близкое к точному корню и полученное с заданной точностью. Точный корень часто нельзя выразить удобной формулой, поэтому вычисляют последовательность всё более точных значений. Обозначают их обычно x₀, x₁, x₂ и так далее.

Метод хорд — итерационный способ нахождения корня по пересечениям оси абсцисс с хордами графика функции. Хорда — отрезок прямой, соединяющий две точки графика. На каждом шаге её пересечение с осью Ox даёт новое приближение.

Метод касательных — итерационный способ нахождения корня по пересечениям оси абсцисс с касательными к графику. Касательная строится в одной выбранной точке, а её наклон задаётся производной f′(x). Поэтому метод касательных ещё называют методом Ньютона.

Критерий остановки — условие, по которому решают, что приближение уже достаточно точное. Например, можно сравнить соседние значения и прекратить вычисления, если их разность меньше заданной точности. Надёжнее дополнительно контролировать отрезок, в котором остаётся корень.

Как это устроено

Уравнение f(x) = 0 сводят к поиску пересечения графика y = f(x) с осью Ox, потому что на этой оси ордината равна нулю. Значит, абсцисса любой точки графика, лежащей на Ox, является корнем. Если пересечение нельзя найти точно, его заменяют пересечением оси с более простыми прямыми — хордами или касательными.

Сначала корень отделяют на отрезке [a; b]. Для этого проверяют непрерывность функции и условие f(a) · f(b) < 0: тогда по теореме о промежуточном значении внутри есть хотя бы один корень. Монотонность помогает убедиться, что корень единственный, а выпуклость и отсутствие нулевой производной обеспечивают предсказуемое направление итераций.

Хорда через точки (a; f(a)) и (b; f(b)) имеет уравнение прямой, соединяющей эти точки. Приравнивая в нём y к нулю, получают абсциссу пересечения с Ox: x = (a f(b) − b f(a)) / (f(b) − f(a)). Затем один из концов заменяют найденным значением, сохраняя корень внутри отрезка, и повторяют построение.

Касательная в точке с абсциссой xₙ имеет вид y = f(xₙ) + f′(xₙ)(x − xₙ). В точке пересечения с Ox значение y равно нулю, поэтому после решения полученного равенства выходит формула xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ). Она даёт новый шаг без построения всей прямой на рисунке.

Начальную точку выбирают не случайно: учитывают знаки f″ и f на концах отрезка. Во время вычислений проверяют, что приближения движутся к корню и сохраняют нужную границу. Остановиться можно, когда |xₙ₊₁ − xₙ| меньше заданной точности, но для гарантии лучше проверить длину отрезка, содержащего корень.

Сравнение методов хорд и касательных

Таблица помогает выбрать способ по имеющимся данным: если производную трудно найти, удобнее начать с хорд. Если производная проста, метод касательных обычно требует меньшего числа шагов. В любом случае результат нужно проверять подстановкой в исходное уравнение.

Разбор задач

1. Метод хорд

Найти с точностью до 0,01 корень уравнения x² − 2 = 0 на [1; 2].

1. Берём f(x) = x² − 2. Имеем f(1) = −1, f(2) = 2, поэтому корень отделён.
2. По формуле хорды получаем x₁ = (1 · 2 − 2 · (−1)) / (2 − (−1)) = 4/3 ≈ 1,3333.
3. Сохраняем левый конец a = 1 и повторяем расчёт: x₂ ≈ 1,4286, x₃ ≈ 1,4118, x₄ ≈ 1,4146.
4. Разность последних приближений |x₄ − x₃| ≈ 0,0028 меньше 0,01. Дополнительно подстановка даёт x₄² − 2 ≈ 0,0012, что подтверждает близость к корню.

Ответ: x ≈ 1,41 с точностью до 0,01.

2. Метод касательных

Решить cos x = x с точностью до 10⁻⁴, начиная с x₀ = 1.

1. Записываем f(x) = cos x − x и f′(x) = −sin x − 1.
2. По формуле Ньютона x₁ = 1 − (cos 1 − 1) / (−sin 1 − 1) ≈ 0,75036.
3. Следующие вычисления дают x₂ ≈ 0,73909 и x₃ ≈ 0,739085.
4. Разность |x₃ − x₂| меньше 10⁻⁴, поэтому дальнейшие шаги не нужны. Найденное значение действительно почти удовлетворяет равенству cos x = x.

Ответ: x ≈ 0,7391.

3. Комбинированный метод

Найти корень x³ − x − 1 = 0 на [1; 2] с точностью до 10⁻⁵.

1. f(1) = −1, f(2) = 5, а f″(x) = 6x > 0 на отрезке. Функция выпукла вверх, поэтому хорду удобно начинать с левого конца, а касательную — с правого.
2. Метод хорд даёт приближения слева: 1,1667; 1,2530; затем значения приближаются к 1,32472. Метод касательных из x₀ = 2 даёт 1,54545; 1,329…; 1,32472.
3. После нескольких шагов получаем две границы, например xх ≈ 1,32471 и xк ≈ 1,32472. Их разность меньше 10⁻⁵, поэтому корень найден с требуемой точностью.

Ответ: x ≈ 1,32472.

Типичные ошибки

Не проверяют существование корня. Если сразу запускать итерации без анализа отрезка, можно работать там, где корня нет или их несколько. Проверьте непрерывность, знаки на концах и монотонность функции.

Путают f(x) и f′(x). В методе касательных в числителе стоит значение функции, а в знаменателе — производная. Полезно отдельно выписать f и f′ и только потом подставлять числа.

Выбирают начальную точку случайно. При неподходящем конце касательная может направиться от корня, а хорда — перестать сохранять его внутри отрезка. Учитывайте знаки f и f″ и после каждого шага проверяйте положение приближения.

Останавливаются слишком рано или рано округляют числа. Одного шага недостаточно, а округление промежуточных значений искажает последующие вычисления. Храните несколько лишних знаков и прекращайте работу только после проверки критерия точности.

Связь с другими темами

Для методов нужны понятия функции, корня уравнения и графика, а также производная, касательная и выпуклость. Без этих идей трудно объяснить, почему построенные прямые дают приближения.

Методы опираются на исследование функций: область определения, непрерывность, монотонность, знаки функции и формулы производных помогают отделить корень и обеспечить сходимость.

Тема является частью численных методов. Она пригодится, когда корень нельзя выразить точно, а также подготавливает к изучению метода Ньютона и вычислительных алгоритмов.

Что запомнить

• Приближённое решение находят как абсциссу точки пересечения приближающей прямой с осью Ox.
• Метод хорд использует секущую через две точки графика.
• Метод касательных использует производную и касательную в одной точке.
• Перед итерациями нужно отделить корень и проверить условия сходимости.
• Формула метода касательных: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ).
• Точность результата контролируют по разности соседних приближений или по длине содержащего корень отрезка.