§ 1. Координатная окружность

Определения и обозначения

Координатная окружность — единичная окружность с центром в начале координат и заданным положительным направлением обхода. Единичной её называют потому, что радиус равен 1. На такой окружности удобно связывать числа, углы и точки.

Начальная точка — точка A(1; 0), от которой начинается отсчёт чисел и углов. Она лежит на положительной полуоси Ox. От выбора этой точки зависит, где будет находиться точка, соответствующая числу 0.

Радианная мера угла — отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. На окружности радиуса 1 численное значение радианной меры совпадает с длиной дуги. Поэтому числа можно откладывать непосредственно по окружности.

Точка, соответствующая числу, получается откладыванием от начальной точки дуги длины |t| с учётом знака числа t. Положительное число задаёт движение против часовой стрелки, отрицательное — по часовой. Так каждому числу ставится в соответствие точка окружности.

Как это устроено

Центр координат выбирают центром окружности, чтобы положение каждой точки сразу описывалось её обычными координатами x и y. Радиус берут равным 1, потому что тогда не появляется дополнительный множитель при переходе от дуги к углу. Кроме того, координаты точки на такой окружности имеют простой вид: (cos t; sin t).

От начальной точки числа откладывают в двух направлениях. При движении против часовой стрелки величина числа увеличивается, поэтому это положительное направление. При движении по часовой стрелке длина дуги учитывается со знаком «минус», и получаются отрицательные числа.

Число 2π соответствует полному обороту, поскольку длина окружности радиуса 1 равна 2π. Поворот на π/2 составляет четверть полного оборота и приводит из точки (1; 0) в точку (0; 1). Аналогично, π даёт половину окружности и точку (−1; 0), а 3π/2 — три четверти и точку (0; −1).

После полного оборота движущаяся точка возвращается в начальное положение. Поэтому числам t и t + 2π, а также t + 2πk при любом целом k, соответствует одна и та же точка. Это объясняет периодичность синуса и косинуса: их значения повторяются через 2π.

Если точка соответствует числу t, то её абсцисса равна cos t, а ордината — sin t. Следовательно, запись координат имеет порядок (cos t; sin t), а не наоборот. Знак каждой координаты определяется четвертью, в которой находится точка.

Основные элементы координатной окружности

Таблица помогает быстро восстановить устройство координатной окружности: сначала определяют направление и величину дуги, затем положение точки. Для проверки координат достаточно вспомнить четверть окружности и формулу (cos t; sin t).

Разбор задач

Задача 1

Условие: отметьте точки, соответствующие числам 0, π/2, π и 3π/2, и укажите их координаты. Эти числа выбраны потому, что делят полный оборот на четыре равные части. Начинаем отсчёт из A(1; 0).

1. Для числа 0 движение отсутствует, поэтому точка остаётся в A(1; 0).
2. Поворот на π/2 — четверть оборота против часовой стрелки, значит, точка попадает на положительную полуось Oy: (0; 1).
3. Поворот на π — половина оборота, поэтому получаем противоположную точку (−1; 0).
4. Поворот на 3π/2 — три четверти оборота, и точка оказывается на отрицательной полуоси Oy: (0; −1).

Ответ: 0 → (1; 0), π/2 → (0; 1), π → (−1; 0), 3π/2 → (0; −1).

Задача 2

Условие: определите точку для числа −5π/2. Минус означает движение по часовой стрелке, а модуль числа равен 5π/2. Удобнее заменить это число другим, отличающимся на полный оборот.

1. Прибавим 2π: −5π/2 + 2π = −π/2.
2. Числу −π/2 соответствует поворот на четверть оборота по часовой стрелке.
3. Из A(1; 0) попадаем в точку на отрицательной полуоси Oy.

Ответ: точка имеет координаты (0; −1); ей также соответствуют числа 3π/2 и −5π/2.

Задача 3

Условие: найдите все числа, которым соответствует точка (−√3/2; 1/2). Координаты сразу сравниваем с формулой (cos t; sin t). Первая координата отрицательна, а вторая положительна, значит, точка находится во второй четверти.

1. Из значений cos t = −√3/2 и sin t = 1/2 определяем базовый угол π/6.
2. Во второй четверти соответствующий угол равен π − π/6 = 5π/6.
3. Добавляем любое целое число полных оборотов 2πk.

Ответ: t = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Типичные ошибки

Положительное направление принимают за движение по часовой стрелке. Так происходит из-за привычки отсчитывать время по циферблату. Проверьте себя: от A(1; 0) положительное направление должно вести сначала к точке (0; 1).

Забывают, что радиус равен 1. Тогда координаты пытаются умножать на произвольный радиус и теряют связь с синусом и косинусом. Проверьте условие: для координатной окружности всегда R = 1.

Числа, отличающиеся на 2π, считают разными точками. Ошибка возникает, если воспринимать число как обычную координату на прямой, а не как длину поворота. Проверьте, не отличаются ли числа на 2πk: после целого числа оборотов точка совпадает.

Координаты записывают как (sin t; cos t). Иногда функции путают из-за одинакового участия в формуле. Запомните порядок: первая координата — cos t, вторая — sin t.

Связь с другими темами

До изучения координатной окружности нужны знания о координатной плоскости, окружности, углах и длине дуги. Эти понятия объясняют, где расположена точка и как измеряется её поворот.

Координатная окружность служит основой для определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Через координаты точки легко понять знаки и значения тригонометрических функций в разных четвертях.

Позже окружность понадобится при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при преобразовании выражений. Период 2π поможет записывать все решения, а координаты — проверять их расположение.

Что запомнить

• Координатная окружность имеет центр O(0; 0) и радиус 1.
• Начальная точка — A(1; 0).
• Положительное направление — против часовой стрелки.
• Полный оборот соответствует числу 2π.
• Числам, отличающимся на 2πk, соответствует одна и та же точка.
• Точке числа t соответствуют координаты (cos t; sin t).