1. Длина дуги окружности

Определения и обозначения

Дуга окружности — часть окружности, ограниченная двумя точками. Малая и большая дуги могут иметь одни и те же концы, но проходят по разным сторонам окружности. Это уточнение нужно, чтобы правильно выбрать участок окружности в задаче.

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны проходят через концы соответствующей дуги, поэтому величина угла задаёт, какую часть окружности нужно рассматривать. Обычно центральный угол обозначают α.

Длина дуги окружности — длина части окружности между двумя заданными точками. Её обозначают буквой l и измеряют в единицах длины: сантиметрах, метрах и других. В отличие от угла, длина дуги зависит не только от её размера, но и от радиуса окружности.

Радианная мера угла — отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: α = l/R. Угол в один радиан соответствует дуге, длина которой равна радиусу, поэтому для такого угла l = R. Радианы позволяют записывать формулу длины дуги особенно просто.

Как это устроено

При одном и том же центральном угле дуги на подобных окружностях имеют одинаковую форму и отличаются только масштабом. Если радиус увеличить в 3 раза, каждая линейная величина, в том числе длина дуги, увеличится в 3 раза. Поэтому длина дуги прямо пропорциональна радиусу: l = R · некоторый коэффициент, зависящий от угла.

Полная окружность длиной 2πR соответствует углу 360°. Дуга с углом α° составляет α/360 всей окружности, поэтому её длина равна 2πR · α/360 = πRα/180. Множитель π/180 появляется именно из перехода от доли полного угла к доле длины окружности.

В радианах угол определяется отношением l/R. Если это отношение равно α, то после умножения на радиус сразу получаем l = Rα. Формула короче, потому что радианная мера уже содержит отношение длины дуги к радиусу и не требует дополнительного множителя π/180.

Для перевода мер используют равенство 180° = π рад, поскольку развёрнутый угол соответствует полуокружности. Чтобы перевести градусы в радианы, градусное число умножают на π/180. Для обратного перевода радианное число умножают на 180/π.

Длина дуги — это расстояние вдоль кривой, а хорда соединяет концы дуги прямой линией. Поэтому для дуги применяют формулы l = πRα/180 или l = Rα, а для хорды — другие зависимости, например c = 2R sin(α/2) при угле в радианах или градусах, подставленном в тригонометрическую функцию с учётом её единиц. Если в условии говорится о пути по окружности, нужна длина дуги; если о прямом отрезке между концами, нужна хорда.

Формулы длины дуги окружности

В таблице сначала определите, в каких единицах дан центральный угол, и выберите соответствующую формулу. Для полной, полу- и четверти окружности можно сразу использовать долю длины 2πR. Во всех случаях радиус должен быть выражен в тех же единицах, что и ответ.

Разбор задач

Задача 1

Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её центральный угол равен 60°. Угол дан в градусах, поэтому формулу с радианами без преобразования применять нельзя. Угол 60° составляет шестую часть полного угла, значит, дуга должна быть шестой частью длины окружности.

1. Подставим данные в формулу для градусов: l = πRα/180.
2. Получим l = π · 6 · 60/180 = 2π см.
3. Проверка через долю окружности даёт тот же результат: 2π · 6/6 = 2π см.

Ответ: 2π см.

Задача 2

Найти длину дуги радиуса 8 см, соответствующей углу π/3 рад. Здесь угол уже выражен в радианах, поэтому переводить его в градусы не требуется. Используем формулу, в которой радианная мера умножается непосредственно на радиус.

1. Запишем формулу: l = Rα.
2. Подставим значения: l = 8 · π/3.
3. Сокращать или переводить результат в десятичную дробь не нужно, поэтому оставляем точное значение l = 8π/3 см.

Ответ: 8π/3 см.

Задача 3

Длина дуги окружности радиуса 10 см равна 5π см. Требуется найти градусную и радианную меры центрального угла. Сначала найдём радианную меру из формулы l = Rα, а затем воспользуемся связью 180° = π рад.

1. Выразим угол: α = l/R = 5π/10 = π/2 рад.
2. Переведём радианы в градусы: π/2 · 180/π = 90°.
3. Проверим результат: дуга с углом 90° является четвертью окружности, а четверть окружности радиуса 10 см имеет длину πR/2 = 5π см.

Ответ: α = π/2 рад, или 90°.

Типичные ошибки

Градусы подставляют в l = Rα. Так происходит из-за смешения двух единиц измерения угла. Если α дано в градусах, нужно использовать множитель π/180 или сначала перевести угол в радианы.

Вместо радиуса берут диаметр. При вычислении длины окружности часто встречается выражение 2πR, поэтому число 2 ошибочно переносят в формулу дуги. Проверьте, что обозначено в условии: если дан диаметр d, сначала найдите R = d/2.

Дугу путают с хордой. Хорда выглядит как отрезок между концами дуги, а длина дуги измеряется вдоль окружности. Спросите себя, движется ли точка по окружности или соединяет концы напрямую.

Не уточняют, какая дуга нужна. Малая и большая дуги имеют общие концы, но их длины различны. Если требуется большая дуга, найдите сначала полную длину 2πR и вычтите длину малой дуги.

Связь с другими темами

До изучения длины дуги нужны формула длины окружности, понятия радиуса и диаметра, а также градусная и радианная меры угла. Эти знания позволяют выбрать формулу и согласовать единицы измерения.

Тема используется при вычислении периметров криволинейных фигур и расстояний, которые проходят точки по окружности. Она помогает находить длину участков круговых дорожек, деталей и траекторий.

Позже формулы дуги понадобятся при изучении угловой и линейной скорости, вращательного движения и тригонометрии. В физике радианная мера связывает пройденную дугу с радиусом и угловым перемещением.

Что запомнить

• Длина дуги определяется её радиусом и центральным углом.
• Для угла α°: l = πRα/180.
• Для угла α рад: l = Rα.
• Полная окружность имеет длину 2πR и соответствует углу 2π рад.
• Связь между мерами угла: 180° = π рад.
• Радиус в формуле должен быть выражен в тех же единицах, что и искомая длина.
• Длина дуги и длина хорды — разные величины.