2. Свойства длины дуги

Определения и обозначения

Длина дуги — расстояние вдоль окружности между концами дуги. Её обозначают буквой l и измеряют в единицах длины: сантиметрах, метрах и так далее. Это понятие позволяет находить не прямое расстояние между точками, а длину пути по окружности.

Круговая дуга — часть окружности, ограниченная двумя точками. Одна и та же пара точек может определять меньшую и большую дуги, если не уточнено, о какой именно части окружности идёт речь. Дуга является объектом, длину которого мы вычисляем.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, который определяет соответствующую дугу. Чем больше этот угол, тем большую часть окружности вырезает дуга. Обычно угол обозначают α, если он дан в радианах, или β, если он дан в градусах.

Радианная мера угла — отношение длины дуги к радиусу окружности, на которой этот угол вырезает дугу: α = l/R. Радиан удобен тем, что длина дуги сразу выражается через радиус и угол. Из этого определения получается основная формула l = Rα.

Как это устроено

Длина дуги зависит от радиуса, потому что при увеличении окружности все её размеры изменяются вместе с радиусом. Если один и тот же центральный угол вырезает дугу на окружности большего радиуса, эта дуга проходит по более длинной окружности. Поэтому при фиксированном угле длина дуги растёт вместе с R.

Зависимость от центрального угла объясняется тем, какую часть полного оборота занимает дуга. Малый угол соответствует небольшой части окружности, а угол, близкий к 2π, — почти всей окружности. Следовательно, при одном и том же радиусе увеличение угла приводит к пропорциональному увеличению длины дуги.

По определению радианной меры α = l/R. Умножим обе части равенства на R и получим формулу l = Rα. Она работает именно потому, что α измерен в радианах: радиан уже содержит в себе отношение длины дуги к радиусу.

Если центральный угол одинаков для двух окружностей, радианная мера α у обеих дуг одна и та же. Тогда l₁ = R₁α и l₂ = R₂α, поэтому l₁/l₂ = R₁/R₂. Значит, длины дуг при одинаковом угле прямо пропорциональны радиусам: увеличение радиуса в несколько раз так же изменяет длину дуги.

Если целая дуга состоит из нескольких частей, путь по первой части, затем по второй и так далее складывается. Поэтому длина целой дуги равна сумме длин составляющих дуг. Для полной окружности угол равен 2π, и формула даёт l = R · 2π = 2πR.

Чтобы перевести градусную меру β в радианную, используют равенство 180° = π радиан. Поэтому α = βπ/180. Подставлять градусы непосредственно в l = Rα нельзя: число 60, например, не означает 60 радиан и описывает совсем другой угол.

Связь центрального угла, радиуса и длины дуги

Сначала определите, какие величины известны: радиус, угол или длина дуги. Если угол дан в градусах, сначала найдите α, а затем используйте строку l = Rα. Для полной окружности сразу подходит формула 2πR.

Разбор задач

Задача 1. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её центральный угол равен π/3. Угол уже выражен в радианах, поэтому дополнительный перевод не нужен.

1. Записываем формулу: l = Rα.
2. Подставляем значения: l = 6 · π/3.
3. Сокращаем 6 и 3: l = 2π см.

Ответ: 2π см.

Задача 2. Найдите длину дуги окружности радиуса 10 см, соответствующей центральному углу 72°. Сначала превратим градусную меру в радианную, потому что формула требует именно её.

1. Находим α: α = 72π/180 = 2π/5.
2. Применяем формулу длины дуги: l = 10 · 2π/5.
3. Выполняем сокращение: l = 4π см.

Ответ: 4π см.

Задача 3. Длина дуги равна 8π см, а её центральный угол — 2π/3. Найдём радиус, а затем длину всей окружности.

1. Из l = Rα выражаем радиус: R = l/α.
2. Подставляем данные: R = 8π/(2π/3) = 8π · 3/(2π) = 12 см.
3. Длина всей окружности равна 2πR, поэтому L = 2π · 12 = 24π см.

Ответ: радиус 12 см, длина всей окружности 24π см.

Типичные ошибки

Подстановка градусов прямо в формулу l = Rα — распространённая ошибка. Её допускают, потому что видят число угла, но забывают о требовании радианной меры. Проверка проста: если угол дан со знаком °, сначала примените α = βπ/180.

Иногда вместо радиуса подставляют диаметр. Это происходит из-за смешения формул окружности: диаметр равен 2R, а в формуле дуги участвует именно R. Перед вычислением найдите половину диаметра, если в условии дан он.

Длину дуги путают с длиной хорды, поскольку обе величины связаны с одними и теми же концами. Хорда — прямой отрезок, а дуга идёт по окружности, поэтому это разные объекты. Проверьте, измеряете ли вы путь по кривой или расстояние по прямой.

Для угла 60° иногда называют долей окружности число 60/360, но забывают умножить его на 2πR. Это число лишь показывает долю полного оборота, а не длину и не радианную меру. Можно проверить результат так: l = (60/360) · 2πR = πR/3.

Связь с другими темами

До изучения длины дуги нужны свойства окружности, различия между радиусом и диаметром, градусная и радианная меры угла. Также пригодятся пропорции и формула длины окружности 2πR. Эти знания позволяют понять происхождение формулы, а не просто запомнить её.

Длина дуги используется при изучении тригонометрических функций, движения по окружности и угловой скорости. Позже она встречается в интегралах и задачах на вычисление длин кривых. Радианы особенно важны в формулах анализа и механики.

Что запомнить

• Длина дуги измеряется вдоль окружности, а не по хорде.
• Основная формула длины дуги: l = Rα.
• В формуле l = Rα угол α должен быть выражен в радианах.
• Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги к радиусу.
• Длина полной окружности равна 2πR.
• При одинаковом угле длина дуги прямо пропорциональна радиусу.
• Длины смежных дуг складываются.