4. Координатная окружность

Определения и обозначения

Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1. На ней удобно сравнивать положения точек, потому что расстояние от центра до любой точки одинаково и равно единице. Такой объект становится основой для определения тригонометрических функций.

Координатная окружность — единичная окружность с начальной точкой отсчёта (1; 0) и заданным положительным направлением обхода. Обычно положительным считают движение против часовой стрелки. Благодаря этому каждому углу можно сопоставить определённую точку.

Радианная мера угла — величина угла, равная отношению длины соответствующей дуги единичной окружности к её радиусу. Так как радиус равен 1, длина дуги численно совпадает с величиной угла в радианах. Поэтому полный оборот имеет меру 2π.

Координаты точки на координатной окружности — абсцисса и ордината точки, через которые выражаются соответственно косинус и синус соответствующего угла. Для угла t записывают точку как (cos t; sin t). Это позволяет находить значения функций по положению точки и её четверти.

Как это устроено

Чтобы получить единичную окружность, на координатной плоскости берут начало координат O и проводят окружность радиуса 1. Такой радиус выбран не случайно: длина радиуса не искажает координатные проекции, поэтому они непосредственно становятся значениями синуса и косинуса. Все точки окружности удовлетворяют уравнению x² + y² = 1.

Точку (1; 0) выбирают начальной, потому что она лежит на положительной полуоси Ox и задаёт естественное положение луча при нулевом угле. Поворот против часовой стрелки принят положительным, как и в геометрии. Радианы удобны тем, что связывают угол с длиной дуги и не требуют отдельного коэффициента перевода.

Чтобы сопоставить углу точку, из начала координат проводят луч через (1; 0), а затем поворачивают его на заданный угол. Пересечение повернутого луча с окружностью и есть искомая точка. Если угол больше полного оборота, луч делает дополнительные круги, но в конце снова попадает на ту же окружность.

Пусть точка имеет координаты (x; y), а её радиус-вектор образует угол t с положительным направлением оси Ox. Горизонтальная проекция радиуса равна cos t, а вертикальная — sin t, поэтому точка записывается как (cos t; sin t). При переходе между четвертями меняются знаки проекций: в I четверти обе координаты положительны, во II отрицательна x, в III отрицательны обе, в IV отрицательна y.

Симметрия помогает переносить известные значения из одной четверти в другие: опорный угол сохраняет величину, а знаки определяются положением точки. Отрицательный угол отсчитывают по часовой стрелке, что даёт отражённую относительно оси Ox точку. Углы, отличающиеся на 2πk, где k ∈ Z, заканчиваются в одной точке, поэтому имеют одинаковые синус и косинус.

Координаты основных точек координатной окружности

В таблице сначала найдите опорный угол или ближайшую известную точку, а затем проверьте координаты по четверти. Значения тангенса и котангенса можно получить как отношения sin t / cos t и cos t / sin t. Если знаменатель равен нулю, соответствующая функция не определена.

Разбор задач

Задача 1

Отметить на координатной окружности точку, соответствующую углу 5π/6, и указать её координаты. Угол больше π/2, но меньше π, поэтому точка находится во второй четверти. Для вычислений достаточно использовать опорный угол π/6.

1. Находим опорный угол: π − 5π/6 = π/6.
2. Для π/6 известны значения cos = √3/2 и sin = 1/2.
3. Во второй четверти косинус отрицателен, а синус положителен.
4. Меняем знак только у первой координаты: точка имеет вид (−√3/2; 1/2).

Ответ: точка находится во II четверти; её координаты (−√3/2; 1/2).

Задача 2

Точка координатной окружности имеет координаты (−√3/2; 1/2). Нужно найти все углы t из отрезка [0; 2π], которым она соответствует. Первая координата отрицательна, вторая положительна, значит, точка лежит во второй четверти.

1. Распознаём значения: |cos t| = √3/2 и |sin t| = 1/2.
2. Опорный угол равен π/6, поскольку cos π/6 = √3/2 и sin π/6 = 1/2.
3. Во второй четверти основной угол равен π − π/6 = 5π/6.
4. На отрезке [0; 2π] других точек с такой парой координат нет.

Ответ: t = 5π/6.

Задача 3

Решить на координатной окружности систему sin t = −1/2, cos t = √3/2. Эти числа сразу задают координаты точки: (√3/2; −1/2). Положительная абсцисса и отрицательная ордината помещают точку в четвёртую четверть.

1. По абсолютным значениям находим опорный угол π/6.
2. В IV четверти угол от начальной точки равен 2π − π/6 = 11π/6.
3. Все остальные решения получаются добавлением полного оборота 2πk.

Ответ: t = 11π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Путают координаты точки и записывают sin t первым. Такая ошибка возникает из-за привычки воспринимать функции как равноправную пару, но абсцисса всегда равна cos t, а ордината — sin t. Проверка: для t = 0 должна получаться точка (1; 0).

Отсчитывают положительные углы по часовой стрелке или начинают не от (1; 0). Обычно это происходит, когда направление поворота не отмечено заранее. Проверьте себя на угле π/2: положительный поворот должен привести к точке (0; 1).

Используют градусную меру там, где угол задан в радианах, например считают π/3 просто числом 3. Ошибка появляется при смешении двух единиц измерения. Помните соответствие: π/3 радиан — это 60°, а полный оборот равен 2π радиан.

Забывают четверть и выбирают только один положительный вариант значения по опорному углу. Опорный угол даёт величины, но не окончательные знаки. Перед записью ответа определите четверть и отдельно проверьте знак каждой координаты.

Связь с другими темами

До изучения координатной окружности нужны координатная плоскость, окружность, четверти и основные свойства углов. Тема становится основой для определения и вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Позже окружность поможет решать тригонометрические уравнения и неравенства, а также строить графики тригонометрических функций.

Что запомнить

• Координатная окружность имеет центр (0; 0) и радиус 1.
• Отсчёт углов начинается от точки (1; 0) и ведётся против часовой стрелки.
• Полный оборот соответствует углу 2π.
• Для угла t координаты точки имеют вид (cos t; sin t).
• Абсцисса точки равна косинусу, а ордината — синусу угла.
• Знаки синуса и косинуса определяются четвертью окружности.
• Углы, отличающиеся на 2πk, задают одну и ту же точку координатной окружности.