§ 2. Тригонометрические функции числового аргумента, их свойства и графики

Определения и обозначения

Числовой аргумент — действительное число x, которому ставится в соответствие значение тригонометрической функции. В отличие от угла, записанного геометрически, числовой аргумент может быть любым действительным числом и обычно измеряется в радианах. Он является входом функции.

Синус числа — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу x. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Такое определение позволяет находить sin x для любого действительного x.

Косинус числа — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу x. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. Поэтому cos x помогает определить горизонтальную координату и знак функции.

Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Эти формулы позволяют вычислять функции через координаты точки окружности. Одновременно они показывают, при каких аргументах деление невозможно.

Как это устроено

Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус 1. При движении от точки (1; 0) на угол x точка получает координаты (cos x; sin x), поэтому её абсцисса задаёт косинус, а ордината — синус. Если число больше 2π или отрицательно, движение просто продолжается, поэтому значения определяются для любого x.

Тангенс является отношением sin x к cos x, поэтому он не существует, когда cos x = 0. Это происходит в точках x = π/2 + πk, где точка окружности лежит на вертикальной оси. Котангенс не существует при sin x = 0, то есть при x = πk, потому что в этих точках знаменатель его дроби равен нулю.

Из равенства sin²x + cos²x = 1 следует, что каждая координата точки единичной окружности находится между −1 и 1. Значит, область значений синуса и косинуса — отрезок [−1; 1], а их нули соответствуют пересечениям окружности с осями. Знаки функций определяются знаками координат в четвертях, а знак тангенса или котангенса — отношением этих знаков.

При повороте на полный оборот 2π точка окружности возвращается на прежнее место, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. После поворота на π обе координаты меняют знак, но их отношение не меняется: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Поэтому основные периоды синуса и косинуса равны 2π, а тангенса и котангенса — π.

Для построения графика отмечают значения в опорных точках, используют симметрию и переносят полученный фрагмент на период. Например, синус проходит через точки с координатами (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1), а косинус — через (0; 1), (π/2; 0), (π; −1). У тангенса и котангенса дополнительно отмечают вертикальные асимптоты — границы промежутков, где функции не определены.

Свойства тригонометрических функций числового аргумента

Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство при исследовании функции или решении уравнения. В записи k ∈ Z параметр k принимает любые целые значения. Для промежутков знакопостоянства и монотонности достаточно рассмотреть один период, а затем использовать периодичность.

Разбор задач

Задача 1

Вычислить sin(−π/6), cos(2π/3), tg(3π/4) и определить, существует ли ctg 0. Все аргументы связаны с табличными углами, но один из них отрицательный. Поэтому сначала применим чётность и периодические свойства.

1. Синус — нечётная функция: sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
2. Угол 2π/3 лежит во II четверти, где косинус отрицателен: cos(2π/3) = −1/2.
3. tg(3π/4) = −1, поскольку в этой точке синус положителен, косинус отрицателен, а их отношение равно −1.
4. ctg 0 не существует: ctg x = cos x / sin x, а sin 0 = 0.

Ответ: sin(−π/6) = −1/2, cos(2π/3) = −1/2, tg(3π/4) = −1; ctg 0 не существует.

Задача 2

Найти область определения, нули и основной период функции y = tg(2x − π/3). Аргументом тангенса является выражение 2x − π/3, поэтому условие и период сначала записываем для него.

1. Тангенс определён, если cos(2x − π/3) ≠ 0. Следовательно, 2x − π/3 ≠ π/2 + πk.
2. Решаем неравенство: 2x ≠ 5π/6 + πk, откуда x ≠ 5π/12 + πk/2.
3. Нули тангенса возникают при 2x − π/3 = πk. Тогда x = π/6 + πk/2.
4. Основной период tg t равен π. При t = 2x − π/3 изменение аргумента на π достигается при изменении x на π/2, значит период равен π/2.

Ответ: область определения — все x, кроме x = 5π/12 + πk/2; нули x = π/6 + πk/2; основной период π/2, где k ∈ Z.

Задача 3

Построить график y = 2cos(x − π/4) − 1 и решить уравнение 2cos(x − π/4) − 1 = 0 на [0; 2π]. Сначала сравним функцию с y = cos x: аргумент даёт сдвиг вправо на π/4, множитель 2 растягивает график по вертикали, а −1 опускает его на единицу.

1. Для уравнения получаем cos(x − π/4) = 1/2.
2. Значения косинуса 1/2 достигаются при x − π/4 = ±π/3 + 2πk.
3. Отсюда x = 7π/12 + 2πk или x = −π/12 + 2πk.
4. На отрезке [0; 2π] подходят x = 7π/12 и x = 23π/12. Для графика используем период 2π, максимум 1 и минимум −3.

Ответ: график получают сдвигом, вертикальным растяжением и переносом; решения на [0; 2π]: x = 7π/12 и x = 23π/12.

Типичные ошибки

Считать, что tg x и ctg x определены при всех x, нельзя: забываются условия cos x ≠ 0 и sin x ≠ 0. Проверяйте знаменатель исходной дроби до вычислений и исключайте соответствующие аргументы.

Период тангенса иногда называют 2π, потому что это действительно период. Но основной, то есть наименьший положительный период, равен π: после поворота на π числитель и знаменатель меняют знак одновременно.

Координаты точки окружности легко перепутать: синус — ордината, а косинус — абсцисса. Самопроверка проста: в точке x = 0 координаты равны (1; 0), поэтому cos 0 = 1, а sin 0 = 0.

При построении cos(x − a) некоторые сдвигают график влево. Выражение x − a означает сдвиг вправо на a, потому что прежнее значение аргумента достигается при x = t + a. Полезно сначала приравнять скобку к нулю и отметить новую центральную точку.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны единичная окружность, радианная мера угла, координаты точки и основные тригонометрические тождества. Свойства функций применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, исследовании функций и изучении производных. Графики помогают описывать колебания, волны и другие периодические процессы.

Что запомнить

• sin x и cos x определены при всех действительных x и принимают значения от −1 до 1.
• Основной период синуса и косинуса равен 2π.
• tg x = sin x / cos x, поэтому тангенс не существует при cos x = 0.
• ctg x = cos x / sin x, поэтому котангенс не существует при sin x = 0.
• Основной период тангенса и котангенса равен π.
• sin x и tg x — нечётные функции, cos x — чётная, ctg x — нечётная.
• Графики строят по опорным значениям, симметрии и периодичности.