1. Функции синус и косинус числового аргумента

Определения и обозначения

Синус числа — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом на данный числовой аргумент. Ордината — это координата точки по вертикальной оси Oy. Поэтому запись sin x означает: найти точку после поворота на x радиан и взять её вертикальную координату.

Косинус числа — абсцисса той же точки единичной окружности. Абсцисса — координата по горизонтальной оси Ox. Обозначение cos x помогает получить горизонтальную координату точки после поворота на угол x.

Функция синус — функция y = sin x, сопоставляющая каждому числу его синус. Аргументом x может быть любое действительное число, в том числе отрицательное или очень большое. Это позволяет описывать величины, которые повторяются при вращении или колебаниях.

Функция косинус — функция y = cos x, сопоставляющая каждому числу его косинус. Синус и косинус определяются одновременно координатами одной точки, поэтому их значения связаны между собой. Такое представление удобно для вычислений, исследования свойств и построения графиков.

Как это устроено

На единичной окружности выбирают начальную точку A(1; 0) и радиус OA. Затем радиус поворачивают на x радиан против часовой стрелки, если x положительно, и по часовой стрелке, если x отрицательно. Конечная точка P имеет координаты (cos x; sin x), поэтому по аргументу сначала находят положение точки, а затем считывают нужную координату.

Радиус единичной окружности равен 1, а расстояние от её центра до любой точки не превышает радиуса. Значит, каждая координата точки P по модулю не больше единицы. Отсюда следуют ограничения −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.

При увеличении аргумента на 2π радиан радиус совершает полный оборот и возвращается в прежнее положение. Конечная точка имеет те же абсциссу и ординату, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Число 2π называют периодом функций, потому что это наименьшая положительная величина, после добавления которой значения повторяются для всех x.

Точка P лежит на окружности радиуса 1, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению a² + b² = 1. Подставляя a = cos x и b = sin x, получаем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1. Оно позволяет находить одну функцию, если известна другая и выбран правильный знак.

Чтобы построить графики, отмечают значения функций в основных точках: 0, π/2, π, 3π/2 и 2π, а затем соединяют их плавной линией. Синус проходит через начало координат, достигает 1 при π/2, снова проходит через ось Ox при π и достигает −1 при 3π/2. Косинус начинается в точке (0; 1), обращается в ноль при π/2 и имеет минимум −1 при π; далее обе картины повторяются через 2π.

Основные свойства функций синуса и косинуса

В таблице сначала находите нужное свойство, а затем выбираете столбец соответствующей функции. Буква k обозначает любое целое число, поэтому формулы с k сразу учитывают все повторения через 2π. Промежутки знакопостоянства удобно проверять по четвертям единичной окружности.

Разбор задач

Задача 1. Основные значения

Вычислить sin 0, cos 0, sin(π/6), cos(π/3). Эти аргументы соответствуют стандартным углам, для которых координаты точек единичной окружности известны.

1. При повороте на 0 точка остаётся в положении (1; 0). Поэтому sin 0 = 0, cos 0 = 1.
2. Для угла π/6 координаты точки равны (√3/2; 1/2). Ордината даёт sin(π/6) = 1/2.
3. Для угла π/3 координаты равны (1/2; √3/2). Абсцисса даёт cos(π/3) = 1/2.

Ответ: sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2.

Задача 2. Периодичность и знак

Найти sin(7π/6) и cos(−π/3). Первый аргумент связан с известным углом π/6 добавлением π, а во втором используется отрицательный аргумент.

1. Представим 7π/6 как π + π/6. Поворот на π переводит точку в противоположную, поэтому sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
2. Для косинуса применяем чётность: cos(−π/3) = cos(π/3).
3. По таблице основных значений cos(π/3) = 1/2, значит искомое значение положительно.

Ответ: sin(7π/6) = −1/2, cos(−π/3) = 1/2.

Задача 3. Уравнение

Решить на отрезке [−2π; 2π] уравнение sin x = √3/2. Значение √3/2 имеет синус в первой и второй четвертях: при x = π/3 и x = 2π/3, после чего решения повторяются с периодом 2π.

1. Записываем общий вид решений: x = π/3 + 2πk или x = 2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
2. Подставляем целые k и оставляем только числа из [−2π; 2π]. Получаем −5π/3, −4π/3, π/3 и 2π/3.
3. Проверка по окружности показывает, что в каждой найденной точке ордината равна √3/2.

Ответ: x ∈ {−5π/3; −4π/3; π/3; 2π/3}.

Типичные ошибки

Синус иногда принимают за абсциссу, а косинус — за ординату. Так происходит, если забыть, что sin x связан с вертикальной координатой, а cos x — с горизонтальной. Проверьте себя фразой: «синус — y, косинус — x».

Ещё одна ошибка — подстановка градусной меры без перевода в радианы. В формулах с π аргументы записаны именно в радианах: 30° = π/6, 60° = π/3. Перед вычислением убедитесь, что все углы имеют одну меру.

Нельзя считать π периодом синуса или косинуса. Поворот на π даёт противоположную точку, поэтому значения меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Повторение исходного значения происходит после полного оборота, то есть через 2π.

Знаки функций часто путают в четвертях или ошибочно меняют знак косинуса при отрицательном аргументе. Сверяйте знак синуса с ординатой, косинуса — с абсциссой, а для отрицательных аргументов используйте sin(−x) = −sin x и cos(−x) = cos x.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны координаты точки, единичная окружность, радианная мера угла и значения тригонометрических функций для основных углов. Знания о синусе и косинусе понадобятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств, преобразовании графиков и изучении производных. Эти функции также описывают периодические процессы: колебания, волны и повторяющиеся изменения величин.

Что запомнить

• Для любого x функции sin x и cos x определены.
• −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x.
• sin²x + cos²x = 1.
• Синус — ордината точки единичной окружности, косинус — её абсцисса.