2. Периодические процессы и функции

Определения и обозначения

Периодический процесс — процесс, значения которого полностью повторяются через одинаковые промежутки времени. Например, смена дня и ночи в идеализированной модели повторяется через сутки. Это понятие помогает описывать повторяющиеся природные, технические и физические явления.

Периодическая функция — функция, для которой существует число T ≠ 0 такое, что f(x + T) = f(x) для всех x из области определения. Число T показывает, на какое расстояние по оси Ox нужно сдвинуть аргумент, чтобы значение функции не изменилось. Такое равенство записывают только для тех x, при которых оба значения функции существуют.

Период функции — ненулевое число T, при сдвиге аргумента на которое значения функции не изменяются. Период может быть положительным или отрицательным: если T подходит, то и −T также подходит. Знание периодов позволяет исследовать не весь график, а только один повторяющийся фрагмент.

Наименьший положительный период — наименьший из положительных периодов функции, если он существует. Именно он лучше всего характеризует длину одного полного повторения. Например, у синуса периодов бесконечно много, но главным считают наименьший положительный период 2π.

Как это устроено

Физический процесс можно описывать функцией времени: каждому моменту t соответствует значение величины, например координата тела или температура. Если через промежуток T состояние полностью повторяется, то значения описывающей функции совпадают: f(t + T) = f(t). Поэтому периодичность процесса превращается в математическое равенство для функции.

Если T — период, то повторение можно выполнить несколько раз: f(x + 2T) = f(x), f(x + 3T) = f(x) и так далее. Движение в обратную сторону даёт f(x − T) = f(x), поэтому −T тоже период. Однако наличие нескольких периодов не означает, что любой из них наименьший: нужно сравнить положительные периоды и проверить, нет ли среди них меньшего.

На графике периодичность видна как повторение одного и того же фрагмента вдоль оси Ox. Если участок графика на отрезке длины T полностью совпадает с соседним участком после сдвига на T, функция повторяется. Для наименьшего периода выбирают самое короткое горизонтальное расстояние, после которого совпадение сохраняется на всём графике.

У синуса и косинуса значения повторяются после полного оборота на 2π: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Сдвиг на π меняет знак, поэтому π не является периодом ни синуса, ни косинуса. У тангенса и котангенса знак числителя и знаменателя одновременно меняется при сдвиге на π, и отношение остаётся прежним, поэтому их наименьший положительный период равен π.

В выражении f(kx + b) число b отвечает за сдвиг графика по горизонтали: оно меняет положение, но не длину повторяющегося фрагмента. Множитель k заставляет аргумент изменяться в |k| раз быстрее или медленнее. Поэтому если исходный период равен T, то новый период равен T/|k| при k ≠ 0.

Основные тригонометрические функции и их периоды

В таблице собраны свойства, которые чаще всего используются при исследовании тригонометрических функций. Запись k ∈ Z означает, что k принимает любые целые значения. В строках с промежутками непрерывности исключённые точки разбивают область определения на отдельные интервалы.

По таблице можно быстро определить область допустимых значений, нули, чётность и период функции. При решении задач сначала проверяйте область определения, а затем применяйте формулу периода с учётом аргумента.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли смена дня и ночи периодическим процессом, и указать, что можно считать его периодом. В реальности длительность дня меняется по сезонам, поэтому нужно отделить наблюдаемое явление от идеальной модели.

1. Смена дня и ночи повторяется: после ночи снова наступает день, а затем следующий цикл.
2. В идеализированной модели продолжительность суток постоянна, поэтому одинаковое состояние повторяется через 24 часа.
3. В реальном наблюдении точная длительность светлого и тёмного времени зависит от времени года, поэтому процесс нельзя считать абсолютно периодическим с периодом ровно 12 часов.

Ответ: в идеальной модели смена дня и ночи — периодический процесс с периодом одни сутки, или 24 часа. Реальное явление является приближённо периодическим.

Задача 2. Найти все периоды и наименьший положительный период функции y = sin(3x − π/4). Используем период синуса 2π и учитываем, во сколько раз аргумент изменяется быстрее.

1. Сдвиг −π/4 не влияет на длину периода, потому что только переносит график по оси Ox.
2. Пусть аргумент увеличился на 2π: 3(x + T) − π/4 = 3x − π/4 + 2πn, где n ∈ Z.
3. Отсюда 3T = 2πn, поэтому T = 2πn/3. Для периода T ≠ 0 нужно n ≠ 0, а при n = 1 получаем наименьший положительный период.

Ответ: все периоды T = 2πn/3, n ∈ Z, n ≠ 0; наименьший положительный период равен 2π/3.

Задача 3. Доказать, что функция y = tg(2x + π/3) имеет наименьший положительный период π/2, и указать область определения. Здесь важно отдельно найти период и исключить значения x, при которых тангенс не существует.

1. Тангенс повторяется при увеличении аргумента на π. Поэтому 2T = πn, откуда T = πn/2, где n ∈ Z.
2. Наименьшее положительное значение получается при n = 1: T = π/2. Меньшего положительного периода нет, потому что у тангенса наименьший период π.
3. Функция не определена, когда 2x + π/3 = π/2 + πk. После преобразования получаем x = π/12 + πk/2, где k ∈ Z.

Ответ: наименьший положительный период равен π/2, а область определения: R без точек x = π/12 + πk/2, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Называют любое число, для которого выполняется f(x + T) = f(x), наименьшим периодом. Так делают, потому что путают понятия «период» и «минимальный период». Проверяйте сначала положительность числа, затем ищите меньший положительный период.

Считают период синуса равным π из равенства sin(x + π) = −sin x. При таком сдвиге значение меняет знак, поэтому исходная функция не повторяется. Проверка должна давать именно f(x + T) = f(x), а не f(x + T) = −f(x).

Забывают, что у тангенса и котангенса период π, а не 2π. Их значения повторяются раньше, поскольку при сдвиге на π числитель и знаменатель одновременно меняют знаки. Сверяйте результат с формулами tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x.

При нахождении периода f(kx + b) учитывают сдвиг b, но не делят исходный период на |k|. Сдвиг меняет положение графика, а множитель меняет скорость изменения аргумента. Для проверки подставьте найденный период в аргумент и убедитесь, что он увеличивается на исходный период.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, их графики и формулы приведения. Периодичность помогает исследовать графики и решать тригонометрические уравнения и неравенства, потому что позволяет работать на одном базовом промежутке. В физике периодические функции описывают колебания, волны и вращательное движение, а позднее используются при изучении тригонометрических рядов.

Что запомнить

• Функция периодична, если f(x + T) = f(x) для всех допустимых x.
• Периодом вместе с T являются все ненулевые целые кратные числа nT.
• Наименьший положительный период — главный числовой параметр повторяемости функции.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• В функции f(kx + b) множитель |k| меняет период на T/|k|, а сдвиг b период не изменяет.