3. Некоторые свойства синуса и косинуса

Определения и обозначения

Чётная функция — функция, для которой значения при противоположных аргументах совпадают: f(−x) = f(x). Для косинуса это означает cos(−x) = cos x; такое свойство отражает симметрию косинуса относительно оси ординат.

Нечётная функция — функция, значения которой при противоположных аргументах противоположны: f(−x) = −f(x). Синус нечётен, потому что sin(−x) = −sin x; это помогает быстро работать с отрицательными углами.

Период функции — ненулевое число T, при прибавлении которого значение функции не меняется: f(x + T) = f(x). Для синуса и косинуса периодом является 2π, а наименьший положительный период называют основным.

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² x + cos² x = 1. Оно связывает значения синуса и косинуса одного угла и позволяет находить одну функцию, если известна другая.

Как это устроено

Пусть точка на единичной окружности после поворота на угол x имеет координаты (cos x; sin x). Радиус окружности равен 1, поэтому каждая координата точки по модулю не больше 1. Отсюда следуют неравенства −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.

Поворот на полный оборот возвращает точку в исходное положение, а полный оборот в радианах равен 2π. Поэтому координаты повторяются: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Повторение продолжается после любого целого числа оборотов, то есть x можно заменить на x + 2πk, где k ∈ Z.

Углы x и −x задают точки, симметричные относительно горизонтальной оси. При такой симметрии абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Так получаем cos(−x) = cos x и sin(−x) = −sin x.

Поворот на π/2 меняет роли горизонтальной и вертикальной координат. Поэтому дополнение угла x до π/2 даёт формулы sin(π/2 − x) = cos x и cos(π/2 − x) = sin x. Они позволяют заменять синус косинусом и наоборот, особенно при преобразовании выражений.

Для точки (cos x; sin x) теорема Пифагора записывается как cos² x + sin² x = 1, потому что её расстояние от начала координат равно 1. Переносом слагаемого получаем cos² x = 1 − sin² x и sin² x = 1 − cos² x. При извлечении корня появляется знак ±, который выбирают по четверти.

Основные свойства синуса и косинуса

Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство: знак, период, формулу чётности или связь с единичной окружностью. При нахождении неизвестной функции сначала применяйте тождество, а затем определяйте знак по четверти. Для преобразований аргумента удобны формулы с π/2 и периодом 2π.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить sin(−π/6) и cos(−π/3), используя свойства чётности и нечётности. Здесь аргументы отрицательные, поэтому сначала нужно определить, какое свойство подходит каждой функции. Табличные значения для положительных углов известны.

1. Синус нечётный, значит sin(−π/6) = −sin(π/6).
2. Так как sin(π/6) = ½, получаем sin(−π/6) = −½.
3. Косинус чётный, поэтому cos(−π/3) = cos(π/3).
4. Из таблицы cos(π/3) = ½, следовательно cos(−π/3) = ½.

Ответ: sin(−π/6) = −½, cos(−π/3) = ½. Знаки различаются именно из-за разной чётности функций.

Задача 2. Упростить выражение sin(7π/6) + cos(5π/3). Оба угла уже находятся между 0 и 2π, поэтому достаточно определить их положение на окружности и воспользоваться табличными значениями. Первый угол лежит в третьей четверти, второй — в четвёртой.

1. Угол 7π/6 = π + π/6, поэтому sin(7π/6) = −sin(π/6) = −½.
2. Угол 5π/3 = 2π − π/3, а косинус в четвёртой четверти положителен, поэтому cos(5π/3) = cos(π/3) = ½.
3. Подставляем найденные значения: sin(7π/6) + cos(5π/3) = −½ + ½ = 0.

Ответ: 0. При решении важно учитывать не только табличный угол, но и знак функции в соответствующей четверти.

Задача 3. Известно, что sin x = 3/5 и x принадлежит второй четверти. Найти cos x и значение выражения 2sin x − cos x. Сначала найдём квадрат косинуса по основному тождеству, а затем выберем знак по четверти. Во второй четверти косинус отрицателен.

1. Используем cos² x = 1 − sin² x: cos² x = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
2. Следовательно, cos x = ±√(16/25) = ±4/5.
3. Во второй четверти cos x < 0, поэтому cos x = −4/5.
4. Подставляем значения: 2sin x − cos x = 2 · 3/5 − (−4/5) = 6/5 + 4/5 = 2.

Ответ: cos x = −4/5, 2sin x − cos x = 2. Отрицательный знак косинуса нельзя выбирать только по результату извлечения корня.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Записывать cos(−x) = −cos x. Так делают по аналогии с синусом, забывая, что косинус чётный. Проверка проста: cos(−π/3) и cos(π/3) имеют одинаковое значение ½.

Ошибка 2. Считать π периодом синуса или косинуса. После поворота на π точка переходит в противоположную, поэтому обе координаты меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Если значение не сохраняется, число не является периодом.

Ошибка 3. Писать только положительный корень из cos² x = 1 − sin² x. Квадратное равенство даёт два возможных знака, а нужный определяется четвертью. Перед окончательным ответом отметьте, положителен или отрицателен косинус.

Ошибка 4. Путать формулы sin(π/2 − x) и sin(π/2 + x), не учитывая положение угла. Удобно проверить преобразование через единичную окружность или формулу sin(π/2 + x) = cos x; знак результата должен соответствовать четверти. Подстановка простого x, например π/6, быстро обнаруживает неверный знак.

Связь с другими темами

До изучения свойств нужны радианная мера угла, единичная окружность, координаты её точки и табличные значения. Без них трудно объяснить происхождение знаков и формул.

Дальше эти свойства используются при построении графиков y = sin x и y = cos x, преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Периодичность помогает описывать повторяющиеся участки графиков.

Тема связана с симметрией графиков функций, периодическими процессами и теоремой Пифагора. Геометрические свойства окружности превращаются в алгебраические тождества.

Что запомнить

• Для любого x: −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
• Основной период синуса и косинуса равен 2π.
• sin(−x) = −sin x, поэтому синус — нечётная функция.
• cos(−x) = cos x, поэтому косинус — чётная функция.
• sin² x + cos² x = 1.
• sin(π/2 − x) = cos x и cos(π/2 − x) = sin x.