"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Синус и косинус связаны с координатами точки на единичной окружности: синусом является её ордината, а косинусом — абсцисса. Поэтому по четверти окружности легко определить знак функции, а по движению точки — понять, где функция возрастает или убывает. Эти свойства нужны для построения графиков, решения тригонометрических неравенств и исследования функций с учётом периода 2π.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Знак функции показывает, положительно или отрицательно её значение на выбранном промежутке. Если значение равно нулю, говорят, что функция обращается в нуль. Знание знака помогает решать неравенства и видеть, выше или ниже оси x находится график.
Знак синуса определяют по положению точки на единичной окружности. Синус угла равен ординате, то есть координате y этой точки: выше оси x он положителен, ниже — отрицателен, а на оси x равен нулю. Поэтому для определения знака достаточно установить четверть окружности.
Знак косинуса определяют по абсциссе точки единичной окружности. Косинус положителен справа от оси y, отрицателен слева, а на оси y равен нулю. Это правило позволяет быстро находить промежутки положительных и отрицательных значений.
Промежуток монотонности — промежуток, на котором функция только возрастает или только убывает. Возрастающая функция принимает всё большие значения при движении слева направо, убывающая — всё меньшие. Такие промежутки нужны для построения графика и решения уравнений и неравенств.
Пусть точка движется по единичной окружности против часовой стрелки, а угол x увеличивается. Её координаты имеют вид (cos x; sin x), поэтому изменение синуса — это изменение высоты точки, а изменение косинуса — изменение её положения по горизонтали. Знак каждой функции определяется не самим числом угла, а тем, где находится точка.
В первой и второй четвертях точка расположена выше оси x, значит, её ордината положительна и sin x > 0. В третьей и четвёртой четвертях точка ниже оси x, поэтому sin x < 0. На горизонтальной оси ордината равна нулю, откуда sin x = 0 при x = πk.
В первой и четвёртой четвертях точка находится справа от оси y, поэтому её абсцисса положительна и cos x > 0. Во второй и третьей четвертях абсцисса отрицательна, значит, cos x < 0. Пересечение с вертикальной осью даёт cos x = 0 при x = π/2 + πk.
Нуль функции на графике — это точка, в которой её значение y равно 0. Все такие точки лежат на оси абсцисс, поэтому нули синуса и косинуса соответствуют пересечениям их графиков с осью x. Отрицательные и положительные промежутки записывают открытыми, потому что сами нули не относятся ни к положительным, ни к отрицательным значениям.
При движении точки от −π/2 до π/2 её ордината меняется от −1 до 1, поэтому синус возрастает, а на следующей половине окружности убывает. Абсцисса сначала уменьшается от 1 до −1 на отрезке [0; π], затем увеличивается от −1 до 1 на [π; 2π]. Поскольку точка возвращается в исходное положение через полный оборот, все формулы повторяются с добавлением 2πk.
| Свойство | y = sin x | y = cos x |
|---|---|---|
| Период | 2π | 2π |
| Нули функции | x = πk | x = π/2 + πk |
| Положительные значения | (2πk; π + 2πk) | (−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk) |
| Отрицательные значения | (π + 2πk; 2π + 2πk) | (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk) |
| Промежутки возрастания | [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] | [π + 2πk; 2π + 2πk] |
| Промежутки убывания | [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk] | [2πk; π + 2πk] |
| Наибольшее и наименьшее значения | 1 и −1 | 1 и −1 |
В таблице k принимает любые целые значения: k ∈ Z. Открытые скобки у промежутков знакопостоянства показывают, что нули исключаются, а квадратные скобки в промежутках монотонности включают точки максимума и минимума. Для конкретного отрезка нужно выбрать подходящие значения k и пересечь полученные промежутки с условием задачи.
Нужно определить, в какой четверти находится угол 7π/6. Сравним его с π и 3π/2: π = 6π/6, а 3π/2 = 9π/6. Значит, угол расположен в третьей четверти, где ордината точки отрицательна.
Ответ: sin(7π/6) < 0. При желании значение можно вычислить: sin(7π/6) = −1/2.
Используем общие формулы из таблицы и оставим только части, попадающие в заданный отрезок. Сначала найдём интервалы возрастания, затем интервалы убывания. Концы отрезка [−2π; 2π] нужно учитывать при пересечении.
Ответ: возрастает на [−2π; −3π/2], [−π/2; π/2] и [3π/2; 2π]; убывает на [−3π/2; −π/2] и [π/2; 3π/2].
Косинус отрицателен во второй и третьей четвертях. В общем виде это записывается как (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk). Теперь подберём значения k, для которых эти промежутки пересекаются с [−π; 3π].
Ответ: x ∈ (−π; −π/2) ∪ (π/2; 3π/2) ∪ (5π/2; 3π]. Точки, где cos x = 0, не включаются, а конец 3π включается, поскольку cos 3π = −1.
Путают знаки синуса и косинуса во второй и четвёртой четвертях, ориентируясь на сам угол. Ошибка возникает, если не смотреть на координаты точки: во второй четверти y положителен, а x отрицателен, в четвёртой — наоборот. Проверьте себя по фразам «синус — вертикальная координата» и «косинус — горизонтальная».
Забывают, что нули не входят в промежутки положительных и отрицательных значений. Например, запись sin x > 0 не включает точки x = πk, потому что там значение равно нулю. Проверка проста: подставьте граничную точку и сравните полученное значение с требуемым знаком.
Записывают промежутки монотонности без слагаемого 2πk и указывают только один период. Такая запись описывает не всю функцию, а лишь один выбранный участок. Проверьте формулу: если угол можно увеличить на 2π и свойства должны сохраниться, параметр k необходим.
Смешивают промежутки возрастания синуса и косинуса. При одном и том же движении точки одна координата может увеличиваться, а другая уменьшаться. Для проверки представьте движение точки или посмотрите на значения функции в начале и конце выбранного промежутка.
Как быстро определить знак синуса или косинуса?
Сначала приведите угол к одному периоду, например к промежутку [0; 2π), и определите четверть точки на единичной окружности. Синус смотрят по координате y, а косинус — по координате x.
Почему у синуса и косинуса разные промежутки знакопостоянства?
Синус и косинус являются разными координатами одной и той же точки. В каждой четверти знаки координат различаются, поэтому положительные и отрицательные промежутки у функций не совпадают.
Как не перепутать промежутки возрастания синуса и косинуса?
Смотрите на движение соответствующей координаты при увеличении угла. Синус возрастает от −1 до 1, а косинус в этот момент может убывать, потому что меняется уже абсцисса точки.
Нужно ли включать концы промежутка в запись промежутка монотонности?
Обычно промежутки монотонности записывают отрезками, включая точки поворота, например [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk]. На концах функция ещё сохраняет указанное направление изменения на всём отрезке.
Как выбрать нужные промежутки, если задан конкретный отрезок?
Сначала запишите общую формулу промежутков с параметром k. Затем подберите целые k и пересеките полученные промежутки с данным отрезком.
4. Знаки синуса и косинуса и промежутки монотонности
