5. Непрерывность синуса и косинуса

Определения и обозначения

Непрерывность функции в точке — это равенство lim f(x) при x → a и значения f(a). Иными словами, приближение аргумента к a приводит к приближению значения функции к числу, которое она принимает в самой точке. Это определение позволяет отличить настоящий разрыв от обычного изменения функции.

Непрерывность функции на промежутке означает, что функция непрерывна в каждой точке этого промежутка. Проверять нужно не одну выбранную точку, а все точки области. Такое свойство удобно для описания поведения графика на целом участке.

Непрерывность синуса записывают так: lim sin x = sin a при x → a для любого действительного a. Значит, значение синуса при приближении угла к a стремится именно к sin a. Благодаря этому в пределе можно заменить переменную её предельным значением.

Непрерывность косинуса выражается равенством lim cos x = cos a при x → a для любого a. Косинус также не делает скачков при изменении аргумента. Это свойство используется отдельно или вместе с непрерывностью синуса.

Как это устроено

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Угол задаёт положение радиуса, а точка его пересечения с окружностью имеет координаты (cos x; sin x). Когда радиус поворачивается, точка движется по окружности, не перепрыгивая из одного места в другое, поэтому обе координаты изменяются непрерывно.

Если угол изменился на очень малую величину, конец радиуса переместился на малое расстояние по окружности. Изменения его горизонтальной и вертикальной координат не могут быть больше длины этого перемещения. Следовательно, при сколь угодно малом изменении x значения sin x и cos x тоже меняются сколь угодно мало.

Геометрия окружности даёт это утверждение для любой точки, соответствующей любому углу a. Окружность замкнута и повторяет положение точки через полный оборот, но нигде не содержит скачка координат. Поэтому пределы sin x и cos x существуют при x → a для каждого действительного a.

Из равенств lim sin x = sin a и lim cos x = cos a следует правило простой подстановки. Если выражение построено из непрерывных функций с помощью сложения, умножения или допустимого деления, в него можно подставить предельное значение аргумента. Например, lim sin(2x) при x → π/3 равен sin(2π/3).

Непрерывность сохраняется при сложении и умножении функций, а для частного требуется ненулевой знаменатель. Поэтому синус и косинус сами непрерывны всюду, но составленное из них выражение может иметь запрещённые точки. Проверка области определения должна предшествовать подстановке.

Сравнение непрерывности синуса и косинуса

Таблица помогает быстро сравнить основные свойства двух функций. При вычислении предела сначала найдите предельную точку, а затем подставьте её в нужную строку с формулой предела. Для составных выражений дополнительно проверяйте область определения и знаменатели.

Разбор задач

Задача 1

Вычислить lim sin x при x → π/6. Здесь рассматривается сама функция синуса, а её непрерывность доказана для любой действительной точки. Поэтому особых преобразований не требуется.

1. Предельное значение аргумента равно a = π/6.
2. Используем формулу lim sin x = sin a при x → a.
3. Подставляем a: lim sin x = sin(π/6) = ½.

Ответ: ½.

Задача 2

Вычислить lim (sin(2x) + cos x) при x → π/3. Обе части выражения непрерывны, поэтому предел суммы равен сумме пределов. Нужно учесть, что аргумент синуса равен 2x и при подстановке тоже изменяется.

1. Подставляем x = π/3 в первый аргумент: 2x = 2π/3.
2. Подставляем предельное значение во второй аргумент: x = π/3.
3. Получаем sin(2π/3) + cos(π/3) = √3/2 + ½.

Ответ: (√3 + 1) / 2.

Задача 3

Исследовать на непрерывность функцию f(x) = sin x / (1 + cos x). Числитель и знаменатель непрерывны на всей числовой прямой, но частное существует только при 1 + cos x ≠ 0. Значит, нужно найти все нули знаменателя.

1. Решаем уравнение 1 + cos x = 0, откуда cos x = −1.
2. Косинус равен −1 при x = π + 2πk, где k ∈ Z.
3. В остальных точках знаменатель не равен нулю, поэтому частное непрерывно как частное непрерывных функций.

Ответ: функция непрерывна при x ≠ π + 2πk и имеет точки разрыва x = π + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Ошибка: считать непрерывную функцию постоянной. Её допускают, потому что слово «непрерывность» связывают с отсутствием изменений, но оно означает отсутствие скачков. Проверьте себя по графику: синус непрерывно меняется от −1 до 1.

Ошибка: проверять синус и косинус только на одном периоде. Периодичность позволяет повторять значения, но непрерывность доказана сразу для каждой действительной точки. В ответе нужно указывать всю числовую прямую, если нет дополнительных ограничений.

Ошибка: подставлять значение в частное без проверки знаменателя. Даже непрерывные числитель и знаменатель не делают частное определённым там, где знаменатель равен нулю. Сначала решите уравнение для знаменателя, затем выполняйте предельную подстановку.

Ошибка: отождествлять существование предела с непрерывностью. Предел может существовать, но не совпадать со значением функции или функция может быть не определена в точке. Проверьте сразу три условия: функция определена, предел существует, предел равен значению.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны единичная окружность, радианная мера угла, определения синуса и косинуса, а также понятие предела функции. Эти знания объясняют геометрический смысл непрерывности и позволяют записывать пределы.

Результат применяется при вычислении пределов и исследовании непрерывности сложных функций. Он особенно полезен для выражений, содержащих суммы, произведения, композиции и частные тригонометрических функций.

Непрерывность синуса и косинуса служит основой для дальнейшего изучения их производных. Она также используется при исследовании графиков и свойств функций.

Что запомнить

• Функции y = sin x и y = cos x непрерывны на всей числовой прямой.
• Для любого a lim sin x = sin a при x → a.
• Для любого a lim cos x = cos a при x → a.
• В выражениях с непрерывными синусом и косинусом предельный переход обычно выполняется подстановкой.
• Частное непрерывных функций непрерывно там, где его знаменатель не равен нулю.
• У синуса и косинуса нет точек разрыва.