2. Деление многочлена с остатком

Определения и обозначения

Делимое — многочлен, который нужно разделить, обычно A(x). Именно его записывают в левой части действия и преобразуют в произведение с остатком. По делимому начинают первый шаг алгоритма.

Делитель — ненулевой многочлен B(x), на который выполняют деление. Он задаёт, какие старшие члены нужно сравнивать на каждом шаге. Делитель не может быть нулевым, потому что деление на нулевой многочлен невозможно.

Частное — многочлен Q(x), показывающий основной результат деления. Его члены получают последовательным делением старших членов текущего остатка на старший член делителя. Частное вместе с делителем образует главную часть исходного многочлена.

Остаток — многочлен R(x), который дополняет равенство A(x) = B(x)Q(x) + R(x). Его степень меньше степени делителя, поэтому продолжить деление уже нельзя. Если остаток равен нулю, говорят, что многочлен делится нацело.

Как это устроено

Результат записывают в виде A(x) = B(x)Q(x) + R(x), потому что при обычном делении число представляют как произведение делителя на частное плюс оставшаяся часть. Произведение B(x)Q(x) содержит ту часть делимого, которая полностью объясняется делителем. Остаток добавляют, чтобы равенство точно совпадало с исходным многочленом.

Первый член частного находят по старшим членам: старший член делимого делят на старший член делителя. Это позволяет подобрать одночлен, произведение которого уничтожит старший член делимого. После вычитания такой член исчезает, поэтому степень полученного выражения уменьшается.

Затем тот же шаг повторяют для нового текущего остатка. Его старший член снова делят на старший член делителя, результат записывают в частное, умножают весь делитель и вычитают. Так постепенно убираются все члены, которые можно сократить произведением на делитель.

Алгоритм останавливают, когда степень текущего остатка становится меньше степени делителя. Если бы это было не так, старший член остатка снова можно было бы разделить на старший член делителя. Поэтому остаток меньшей степени не является случайным условием, а показывает, что дальнейший шаг невозможен.

Для многочлена меньшей степени деление всегда заканчивается, поскольку на каждом шаге степень текущего остатка уменьшается. Единственность следует из того, что первый член частного определяется однозначно, затем однозначно определяется следующий и так далее. Проверка результата основана на обратном действии: нужно вычислить B(x)Q(x) + R(x) и сравнить с A(x).

Деление многочлена с остатком: элементы и условия

Таблицу удобно использовать как памятку перед началом решения. Сначала проверьте делитель и старшие члены, затем после каждого вычитания контролируйте степень текущего остатка. В конце примените последнюю строку таблицы и восстановите делимое.

Разбор задач

Задача 1

Разделим 2x³ − 3x² + 4x − 5 на x − 2. Старший член делимого 2x³ делится на x, поэтому первый член частного равен 2x². Дальше последовательно устраняем старшие члены.

1. 2x³ : x = 2x²; произведение (x − 2)·2x² = 2x³ − 4x². После вычитания получаем x² + 4x − 5.
2. x² : x = x; произведение x(x − 2) = x² − 2x. Остаток после вычитания равен 6x − 5.
3. 6x : x = 6; произведение 6(x − 2) = 6x − 12. После вычитания остаётся 7.

Степень числа 7 равна нулю, а степень делителя равна единице, поэтому процесс закончен. Ответ: Q(x) = 2x² + x + 6, R(x) = 7.

Задача 2

Разделим x⁴ − 5x² + 2x + 7 на 2x² − x + 1. Пропущенный член нужно записать: x⁴ + 0x³ − 5x² + 2x + 7. Ненулевой старший коэффициент делителя приводит к дробным коэффициентам в частном.

1. x⁴ : 2x² = ½x². После вычитания произведения получаем ½x³ − 11/2x² + 2x + 7.
2. ½x³ : 2x² = ¼x. После вычитания получается −21/4x² + 7/4x + 7.
3. −21/4x² : 2x² = −21/8. Вычитание произведения даёт −7/8x + 77/8.

Степень остатка равна единице и меньше степени делителя, равной двум. Ответ: Q(x) = ½x² + ¼x − 21/8, R(x) = −7/8x + 77/8.

Задача 3

Пусть A(x) = x⁵ − 2x³ + x − 6, а B(x) = x² + x − 2. Записываем пропущенные члены с нулевыми коэффициентами и делим старшие члены по очереди. Получаем Q(x) = x³ − x² + x − 3 и R(x) = 6x − 12.

1. x⁵ : x² = x³; после вычитания остаётся −x⁴ − 2x² + x − 6.
2. −x⁴ : x² = −x²; после вычитания остаётся x³ − 3x² + x − 6.
3. x³ : x² = x; затем −3x² : x² = −3. Последний остаток равен 6x − 12.

Степень 6x − 12 равна единице, поэтому она меньше степени делителя. Проверка равенства B(x)(x³ − x² + x − 3) + 6x − 12 = A(x) подтверждает ответ.

Типичные ошибки

Не записывают пропущенные степени многочлена. Из-за этого сдвигаются одноимённые члены и вычитание становится неверным. Записывайте, например, 0x³, а после решения сравните степени всех строк.

Делят только коэффициенты и забывают о степенях переменной. Тогда вместо x⁴ : x² = x² могут ошибочно получить число. Проверяйте результат умножением найденного члена частного на старший член делителя.

Продолжают деление, когда степень текущего остатка уже меньше степени делителя. В этот момент новый член частного получить нельзя. Сравнивайте степени перед каждым следующим шагом.

При вычитании не меняют знаки у произведения или не выполняют проверку. Одна такая ошибка меняет весь остаток. Раскрывайте скобки перед вычитанием и в конце вычисляйте B(x)Q(x) + R(x).

Связь с другими темами

До деления многочленов нужно уметь складывать и вычитать многочлены, приводить подобные члены и раскрывать скобки при умножении. Эти действия составляют основу каждого шага алгоритма.

Результат деления помогает раскладывать многочлены на множители и решать уравнения, когда известен делитель. Если делитель имеет вид x − a, деление связано с теоремой Безу, а сокращённая запись вычислений выполняется по схеме Горнера.

Что запомнить

• A(x) = B(x)Q(x) + R(x).
• Делитель должен быть ненулевым многочленом.
• Степень остатка меньше степени делителя.
• Если деление выполняется без остатка, то R(x) = 0.
• На каждом шаге делят старший член текущего остатка на старший член делителя.
• Результат проверяют умножением делителя на частное и прибавлением остатка.