3. Теорема Безу. Корни многочлена

Определения и обозначения

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен значению P(a). Иными словами, чтобы найти остаток, не обязательно выполнять деление столбиком. Достаточно подставить a вместо x.

Корень многочлена — число a, при котором P(a) = 0. Это понятие нужно для решения уравнений P(x) = 0 и разложения многочлена на множители. Каждый найденный корень даёт линейный множитель x − a.

Линейный двучлен x − a — выражение первой степени, состоящее из переменной и числа. Именно с ним сравнивают многочлен при проверке корня: если P(a) = 0, то x − a делит P(x) без остатка. Для двучлена x + a следует помнить, что это x − (−a).

Кратность корня показывает, сколько раз множитель x − a входит в разложение многочлена. Если P(x) = (x − 2)²(x + 1), то 2 — корень кратности 2, а −1 — корень кратности 1. Кратность учитывают при полном разложении и записи ответа.

Как это устроено

При делении многочлена P(x) на многочлен первой степени x − a степень остатка должна быть меньше степени делителя. Степень x − a равна 1, поэтому остаток не может содержать x и является постоянным числом r. Поэтому деление записывают так: P(x) = (x − a)Q(x) + r.

Чтобы узнать значение остатка, в полученное равенство подставляют x = a. Произведение (a − a)Q(a) равно нулю, и остаётся P(a) = r. Значит, вычисление P(a) заменяет полное деление и доказывает теорему Безу.

Если P(a) = 0, то остаток r равен нулю. Деление становится безостаточным: P(x) = (x − a)Q(x), поэтому x − a является множителем. Обратно, если такой множитель есть, подстановка x = a уничтожает его и даёт P(a) = 0.

Теорема позволяет быстро проверять предполагаемые корни. Для каждого числа вычисляют P(a), а при нулевом результате делят многочлен на x − a и продолжают работу с частным. Так постепенно степень уменьшается, и сложное уравнение превращается в более простое.

Число корней ограничено степенью многочлена. Если ненулевой многочлен степени n имел бы больше n различных корней, последовательное вынесение соответствующих линейных множителей потребовало бы степени больше n. Следовательно, различных корней не может быть больше n, хотя с учётом кратности их можно считать повторно.

Теорема Безу и действия с корнями многочлена

Сначала определите, какая ситуация дана в задаче, а затем используйте соответствующую строку таблицы. Если требуется только остаток, достаточно вычислить значение многочлена. При разложении после каждого найденного корня выполняйте деление на соответствующий линейный множитель.

Разбор задач

Задача 1

Найти остаток от деления P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5 на x − 2. Делитель имеет вид x − a, где a = 2, поэтому подходит теорема Безу. Полное деление выполнять не нужно.

1. По теореме Безу остаток равен P(2).
2. Вычислим: P(2) = 2·2³ − 3·2² + 2 − 5 = 16 − 12 + 2 − 5 = 1.
3. Следовательно, остаток при делении равен 1.

Ответ: 1.

Задача 2

Нужно показать, что 1 — корень многочлена P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6, затем найти остальные корни. Сначала проверим число, указанное в условии, а затем уменьшим степень многочлена. Получившийся квадратный многочлен разложим с помощью подбора корней или формул.

1. P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, значит, 1 является корнем, а x − 1 — множителем.
2. Делим x³ − 6x² + 11x − 6 на x − 1 и получаем x² − 5x + 6.
3. Разложим квадратный многочлен: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
4. Полное разложение: P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), поэтому корни равны 1, 2 и 3.

Ответ: корни 1, 2, 3; P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Задача 3

Найти все целые корни и разложить на линейные множители многочлен P(x) = x⁴ − 5x³ + 5x² + 5x − 6. Так как старший коэффициент равен 1, целые корни нужно искать среди делителей свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверять их удобно теоремой Безу, каждый раз уменьшая степень.

1. P(1) = 1 − 5 + 5 + 5 − 6 = 0, поэтому делим на x − 1 и получаем x³ − 4x² + x + 6.
2. Проверяем −1: −1 − 4 − 1 + 6 = 0. Значит, x + 1 — множитель, а после деления остаётся x² − 5x + 6.
3. Квадратный многочлен раскладывается так: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
4. Итак, P(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x − 3).

Ответ: целые корни −1, 1, 2, 3; разложение указано выше.

Типичные ошибки

Путают делители x − a и x + a: для x + a нужно подставлять −a, а не a. Такая ошибка возникает из-за невнимательности к знаку перед числом. Проверьте себя, переписав x + a как x − (−a).

Корнем называют число, для которого остаток ненулевой. Но корень требует именно P(a) = 0, потому что только тогда деление на x − a проходит без остатка. После вычисления обязательно сравнивайте результат с нулём.

При отрицательном кандидате неверно раскрывают скобки или заменяют значение a на −a. Например, для кандидата −2 нужно вычислять P(−2), сохраняя скобки при возведении в степень. Полезно подставлять число в несколько действий и отдельно проверять знаки.

После нахождения одного корня сразу считают разложение законченным. Один корень даёт только один множитель, а оставшийся многочлен может иметь другие корни. Выполните деление и исследуйте частное до тех пор, пока его степень не уменьшится до нуля или квадратного множителя.

Связь с другими темами

До изучения теоремы нужны понятия многочлена, его степени, значения и деления с остатком. Также пригодится разложение на множители, поскольку найденный корень позволяет вынести линейный множитель.

Теорема особенно полезна при решении уравнений высших степеней. Сначала находят один или несколько корней, затем сводят задачу к квадратному уравнению или к дальнейшему разложению.

Тема связана с формулами Виета, рациональными корнями и графиком многочлена. Корни уравнения соответствуют точкам пересечения графика с осью абсцисс, а кратность влияет на характер такого пересечения.

Что запомнить

• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• Число a — корень многочлена тогда и только тогда, когда P(a) = 0.
• Если a — корень, то x − a является множителем многочлена.
• Для проверки кандидата на корень достаточно вычислить значение многочлена в этой точке.
• Ненулевой многочлен степени n имеет не более n различных корней.
• После нахождения корня многочлен можно разделить на соответствующий линейный множитель.
• Кратность корня определяется числом повторяющихся множителей x − a.