"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Техника дифференцирования — это набор правил, который помогает находить производную сложной функции по её строению. Слагаемые дифференцируют отдельно, постоянный множитель выносят за знак производной, а для произведения и частного используют специальные формулы. Для сложной функции перемножают производные внешнего и внутреннего выражений. Эти приёмы позволяют исследовать функции, находить экстремумы и решать задачи о касательной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дифференцирование — нахождение производной функции с применением правил и формул. Производную функции y = f(x) обозначают f'(x) или y'. Этот приём нужен, чтобы быстро находить скорость изменения функции, не вычисляя предел заново для каждого выражения.
Правило суммы утверждает: производная суммы функций равна сумме их производных, то есть (u + v)' = u' + v'. Знак разности рассматривается так же: (u − v)' = u' − v'. Правило позволяет разделить длинное выражение на простые слагаемые.
Правило произведения говорит, что производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: (uv)' = u'v + uv'. В каждом слагаемом одна функция дифференцируется, а другая сохраняется. Это правило используют, когда раскрытие скобок не помогает или невозможно.
Правило частного позволяет найти производную дроби u/v при v ≠ 0: (u/v)' = (u'v − uv')/v². В числителе важно сохранить порядок вычитания, а знаменатель возвести в квадрат. Условие v ≠ 0 связано с тем, что исходная дробь определена не при всех значениях x.
Для постоянной функции y = c любое приращение аргумента не меняет значение функции: f(x + Δx) − f(x) = c − c = 0. В определении производной это приращение делится на Δx, но нулевой числитель остаётся нулём. Поэтому f'(x) = 0: горизонтальная прямая не имеет наклона.
Пусть функция имеет вид f(x) = u(x) + v(x). Её приращение равно [u(x + Δx) − u(x)] + [v(x + Δx) − v(x)]. После деления на Δx получается сумма двух отношений, а при переходе к пределу — u'(x) + v'(x). Значит, слагаемые можно дифференцировать отдельно, потому что приращение суммы складывается из приращений слагаемых.
Производная произведения не равна u'v', поскольку при изменении x меняются оба множителя. Добавим и вычтем u(x + Δx)v(x) в приращении произведения: получатся два вклада — от изменения первого и от изменения второго множителя. После деления на Δx и перехода к пределу они дают u'v + uv'.
Частное можно представить как произведение u · 1/v. Для обратной функции используется формула (1/v)' = −v'/v², которую получают из равенства v · 1/v = 1 и правила произведения. Тогда (u/v)' = u'/v − uv'/v²; приведение к общему знаменателю даёт (u'v − uv')/v², причём v не должен быть равен нулю.
В сложной функции сначала выделяют внешнюю и внутреннюю части. Например, в sin(3x²) внешняя функция — синус, а внутренняя — 3x². Изменение результата складывается из двух последовательных изменений, поэтому по правилу цепочки производная равна cos(3x²) · 6x.
| Вид функции | Условия применения | Формула производной | Что важно проверить |
|---|---|---|---|
| Постоянная функция | Значение не зависит от x | (c)' = 0 | c — постоянное число |
| Сумма или разность функций | Функции дифференцируемы на рассматриваемом промежутке | (u ± v)' = u' ± v' | Знак разности сохраняется |
| Произведение постоянного числа и функции | c — постоянное число | (cu)' = cu' | Константу не дифференцируют |
| Произведение двух функций | Обе функции дифференцируемы | (uv)' = u'v + uv' | Нужны два слагаемых |
| Частное двух функций | v ≠ 0 и обе функции дифференцируемы | (u/v)' = (u'v − uv')/v² | Знаменатель возводится в квадрат |
| Сложная функция | Функция имеет вид f(g(x)) | (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) | Не забыть производную внутренней функции |
| Степенная функция | Показатель n допустим на области определения | (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ | Показатель уменьшается на 1 |
Пользуйтесь таблицей после того, как определили строение выражения. Начинайте с внешнего действия, а затем переходите к функциям внутри него. Для дробей отдельно проверьте, где знаменатель не равен нулю.
Условие: найти производную функции y = 5x⁴ − 3x² + 7x − 6.
Ответ: y' = 20x³ − 6x + 7.
Условие: найти производную y = (x² + 1)sin x.
Раскрывать скобки не требуется: правило сразу учитывает изменение обоих множителей. Ответ: y' = 2x sin x + (x² + 1)cos x.
Условие: найти производную y = (3x² − 1)⁵/(x³ + 2).
Исходная функция и её производная рассматриваются при x³ + 2 ≠ 0. Ответ: y' = [30x(3x² − 1)⁴(x³ + 2) − 3x²(3x² − 1)⁵]/(x³ + 2)².
Производная произведения равна произведению производных. Так ошибаются, перенося привычное правило суммы на умножение. Проверьте себя: в правильной формуле должны быть два слагаемых, u'v и uv'.
Забывается производная внутренней функции. Например, при дифференцировании (3x² − 1)⁵ нельзя оставить только 5(3x² − 1)⁴. Проверьте цепочку изменений и домножьте результат на производную 3x² − 1.
Правило частного применяют без условия v ≠ 0. Формула производной не устраняет точки, где исходная дробь не определена. Сначала найдите нули знаменателя и исключите их из области рассмотрения.
Неверно расставляются скобки и знаки. Особенно часто теряют минус перед uv' или забывают квадрат знаменателя. Запишите числитель целиком в скобках и только потом подставляйте производные.
До изучения техники дифференцирования нужны определение производной, таблица производных элементарных функций и навыки преобразования выражений. Без этих знаний трудно понять происхождение правил и аккуратно упрощать результат.
Правила дифференцирования применяются при исследовании функций: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и поведение графика. Они также нужны в задачах на касательную и при анализе сложных математических моделей.
Почему производная произведения не равна произведению производных?
При изменении аргумента изменяются оба множителя, поэтому вклад в приращение произведения дают сразу два слагаемых. Поэтому (uv)' = u'v + uv', а не u'v'.
Когда нужно применять правило сложной функции?
Правило применяют, когда одна функция находится внутри другой: например, (3x² − 1)⁵ или sin(2x). Нужно выделить внешнюю и внутреннюю функции и перемножить их производные.
Можно ли сначала раскрыть скобки, а потом дифференцировать?
Можно, если раскрытие скобок не усложняет выражение и область определения не меняется. Но часто удобнее сохранить структуру и применить правило произведения или сложной функции.
Почему в формуле производной частного появляется квадрат знаменателя?
Частное u/v представляют как произведение u и 1/v. Производная обратной функции равна −v'/v², поэтому после применения правила произведения и приведения к общему знаменателю возникает квадрат знаменателя.
Как понять, какое правило дифференцирования использовать первым?
Сначала определите внешнюю структуру выражения: сумма, произведение, частное или сложная функция. Затем применяйте соответствующее правило, а оставшиеся части дифференцируйте по таблице.
§ 2. Техника дифференцирования
