"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Линейная комбинация функций — сумма или разность функций, умноженных на постоянные коэффициенты: c₁f₁(x) + … + cₙfₙ(x). Для её дифференцирования применяют правила суммы, разности и вынесения постоянного множителя. Производная сохраняет структуру исходного выражения: каждый коэффициент остаётся на своём месте, а вместо каждой функции записывается её производная. Это правило нужно при работе с многочленами, тригонометрическими, показательными и логарифмическими функциями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная комбинация функций — выражение вида c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + … + cₙfₙ(x), где c₁, c₂, …, cₙ — постоянные числа. Функции могут быть разными, а коэффициенты задают, во сколько раз каждое слагаемое входит в выражение. Такое представление позволяет дифференцировать сложное выражение по частям.
Производная суммы функций — производная, равная сумме производных слагаемых: (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x). Каждое слагаемое рассматривают независимо от остальных. Правило удобно, потому что не требуется заново находить производную всей суммы целиком.
Производная разности функций — производная, равная разности производных: (f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x). Знак минус перед второй функцией сохраняется. Это правило является частным случаем правила суммы, если считать вычитаемую функцию умноженной на −1.
Правило вынесения постоянного множителя означает: производная произведения постоянного числа c на функцию равна произведению этого числа на производную функции: (cf(x))′ = cf′(x). Коэффициент не меняется при дифференцировании. Благодаря этому можно не раскрывать множители, а сразу работать с функцией внутри.
Правило суммы следует из определения производной через приращение. Если аргумент изменился на Δx, то приращение суммы равно Δ(f + g) = Δf + Δg. После деления на Δx получаем сумму отношений Δf/Δx и Δg/Δx, а при Δx → 0 они переходят в f′(x) и g′(x).
Постоянный множитель выносится за знак производной по той же причине. Приращение функции cf(x) равно cΔf, потому что число c не меняется при переходе от x к x + Δx. Деление на Δx даёт c · Δf/Δx, а в пределе получается cf′(x).
Соединив правила суммы, разности и постоянного множителя, получаем формулу для любой линейной комбинации: (c₁f₁(x) + … + cₙfₙ(x))′ = c₁f₁′(x) + … + cₙfₙ′(x). Структура выражения сохраняется, изменяются только функции. Поэтому достаточно знать производные входящих функций.
Для применения правила все функции f₁, f₂, …, fₙ должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке. Коэффициенты c₁, c₂, …, cₙ обязаны быть постоянными числами, а не выражениями с x. Если хотя бы один множитель зависит от x, это уже не обычный случай линейной комбинации.
Практический алгоритм состоит из нескольких шагов. Сначала выделите слагаемые, затем сохраните перед каждым слагаемым его коэффициент и знак, после этого найдите производную каждой функции по известной формуле. В конце объедините результаты и упростите выражение, если это возможно.
| Операция | Исходная функция | Производная |
|---|---|---|
| Сумма функций | f(x) + g(x) | f′(x) + g′(x) |
| Разность функций | f(x) − g(x) | f′(x) − g′(x) |
| Постоянный множитель | cf(x) | cf′(x) |
| Линейная комбинация | c₁f₁(x) + … + cₙfₙ(x) | c₁f₁′(x) + … + cₙfₙ′(x) |
| Постоянная функция | c | 0 |
В таблице сначала найдите вид операции, который встречается в вашей функции. Затем примените соответствующую строку к каждому слагаемому, не меняя коэффициенты и знаки.
Последняя строка показывает, что постоянное слагаемое исчезает при дифференцировании: его значение не зависит от x.
Условие: найти производную функции y = x² + sin x.
Ответ: y′ = 2x + cos x.
Условие: найти производную функции y = 4√x − 3/x + 2cos x.
Ответ: y′ = 2/√x + 3/x² − 2sin x.
Условие: найти значение производной функции y = ½x⁵ − 3sin x + 4ln x − 7cos x + 6 в точке x = 1.
Ответ: y′(1) = 13/2 − 3cos 1 + 7sin 1.
Коэффициент перед функцией иногда ошибочно дифференцируют как функцию от x. Например, вместо (5sin x)′ = 5cos x получают лишнее слагаемое. Проверьте себя: если коэффициент записан обычным числом и не содержит x, он должен остаться без изменений.
При дифференцировании разности часто теряют знак минус перед производной второго слагаемого. Причина в том, что внимание сосредотачивают на самой функции, а не на знаке перед ней. Полезно мысленно записать −g(x) как (−1)g(x) и сохранить множитель −1.
Производную суммы иногда заменяют произведением производных: (f + g)′ = f′g′. Это смешение разных правил дифференцирования. Для проверки раскройте приращение суммы: оно складывается, поэтому и производные складываются.
В линейную комбинацию ошибочно включают множитель, зависящий от x, и выносят его за знак производной. Например, для x sin x нельзя писать x cos x по правилу постоянного множителя. Здесь нужно применять правило произведения и учитывать производную множителя x.
До изучения правила нужны определение производной, таблица производных элементарных функций и навыки действий с алгебраическими выражениями. Без них невозможно корректно дифференцировать отдельные слагаемые и упрощать результат.
Правила линейности используются при дифференцировании многочленов, рациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Во многих таких выражениях каждый член является частью одной линейной комбинации.
Производные линейных комбинаций нужны при исследовании функций, нахождении касательных и экстремумов, а также при решении прикладных задач. Умение быстро разделять выражение на слагаемые сокращает число вычислительных ошибок.
Почему постоянный коэффициент можно выносить за знак производной?
Приращение функции cf(x) равно c умножить на приращение f(x). При делении на приращение аргумента постоянный множитель c сохраняется, поэтому (cf(x))′ = cf′(x).
Можно ли применять это правило, если коэффициент зависит от x?
Нет, правило постоянного множителя тогда неприменимо. Если множитель зависит от x, например x sin x, нужно использовать правило произведения.
Нужно ли отдельно дифференцировать знак минус перед функцией?
Знак минус можно рассматривать как постоянный множитель −1. Поэтому (−f(x))′ = −f′(x), а при дифференцировании разности минус перед вторым слагаемым сохраняется.
Как найти производную линейной комбинации из нескольких слагаемых?
Разделите выражение на отдельные слагаемые, сохраните их коэффициенты и знаки, затем найдите производную каждой функции. После этого запишите сумму полученных производных и при необходимости упростите результат.
Можно ли сначала упростить линейную комбинацию, а потом дифференцировать?
Да, если преобразования выполнены правильно и область определения не изменена существенно. Иногда предварительное упрощение сокращает вычисления, но применять правила к исходным слагаемым обычно надёжнее.
1. Дифференцирование линейной комбинации функций
