2. Дифференцирование степени функции и произведения функций

Определения и обозначения

Степень функции — выражение вида y = [u(x)]ⁿ. Здесь u(x) — основание степени, то есть функция, которую возводят в степень, а n — показатель, показывающий, сколько раз умножается основание само на себя. Выделение u(x) помогает не потерять внутреннюю функцию при дифференцировании.

Производная степени функции — правило нахождения производной выражения [u(x)]ⁿ через показатель n, саму функцию u(x) и её производную u'(x). Оно записывается так: ([u(x)]ⁿ)' = n[u(x)]ⁿ⁻¹u'(x). Правило нужно, когда основанием степени является не только x, но и более сложное выражение.

Произведение функций — функция вида y = u(x)v(x), где оба множителя зависят от одной переменной x. Например, x² sin x является произведением функций x² и sin x. Такое представление позволяет применить отдельное правило, учитывающее изменение каждого множителя.

Производная произведения функций равна u'(x)v(x) + u(x)v'(x). В первом слагаемом дифференцируется первый множитель, а второй сохраняется; во втором — наоборот. Формула показывает, что общее изменение произведения складывается из двух взаимосвязанных изменений.

Как это устроено

Функцию [u(x)]ⁿ можно рассматривать как сложную функцию: сначала из x получают u(x), а затем возводят результат в степень n. Производная внешней операции даёт множитель n[u(x)]ⁿ⁻¹. Но изменение x сначала меняет именно u(x), поэтому результат нужно дополнительно умножить на u'(x).

Причину формулы можно увидеть из разности степеней: u(x+h)ⁿ − u(x)ⁿ. Если обозначить u(x) через u, а приращение u(x+h) − u(x) через Δu, то разность превращается в (u + Δu)ⁿ − uⁿ. После разложения в ней выделяется главный член n uⁿ⁻¹Δu, а остальные содержат более высокие степени Δu и при делении на h исчезают быстрее.

Так как Δu приблизительно равно u'(x)h при малом h, отношение главного члена к h стремится к n uⁿ⁻¹u'(x). Именно поэтому в производной появляются показатель степени, уменьшенная степень основания и производная основания. Формула не является механическим переносом правила для xⁿ: она учитывает внутреннее изменение u(x).

В произведении u(x)v(x) приращение может появиться по двум причинам: изменился первый множитель или изменился второй. Поэтому рассматривают [u + Δu][v + Δv] − uv. Раскрытие скобок даёт vΔu + uΔv + ΔuΔv, а последнее слагаемое после деления на h становится пренебрежимо малым, поскольку содержит произведение двух малых приращений.

В результате остаются два вклада: u'(x)v(x) и u(x)v'(x). Правило применяется по структуре выражения, а не по внешнему виду отдельных символов. Если один множитель сам является степенью или сложной функцией, внутри него дополнительно используют соответствующее правило.

Правила дифференцирования степени функции и произведения

В таблице сначала найдите вид всей функции, а затем выберите соответствующее правило. В составных выражениях двигайтесь от внешней структуры к внутренней: сначала распознайте произведение, после чего дифференцируйте его множители. Раскрывать скобки заранее обычно не нужно.

Разбор задач

Задача 1

Найти производную функции y = (3x − 1)⁴. Внешняя операция здесь — возведение в четвёртую степень, а внутренняя функция равна 3x − 1. Поэтому сначала применяем правило степени, не раскрывая скобки.

1. Пусть u(x) = 3x − 1, тогда u'(x) = 3.
2. По формуле ([u(x)]ⁿ)' = n[u(x)]ⁿ⁻¹u'(x) получаем y' = 4(3x − 1)³ · 3.
3. Умножаем постоянные множители и записываем результат: y' = 12(3x − 1)³.

Ответ: y' = 12(3x − 1)³.

Задача 2

Найти производную функции y = x² sin x. Всё выражение является произведением двух функций: x² и sin x. Значит, нужно продифференцировать каждый множитель, сохранив второй множитель без изменений в соответствующем слагаемом.

1. Для u(x) = x² имеем u'(x) = 2x, а для v(x) = sin x имеем v'(x) = cos x.
2. Применяем правило произведения: y' = (x²)' sin x + x²(sin x)'.
3. Подставляем производные и получаем y' = 2x sin x + x² cos x.

Ответ: y' = 2x sin x + x² cos x.

Задача 3

Найти производную функции y = (x² + 1)³(2x − 5). Сначала видим произведение двух множителей, поэтому применяем правило произведения. Затем в первом слагаемом отдельно дифференцируем степень (x² + 1)³.

1. Для u(x) = (x² + 1)³ имеем u'(x) = 3(x² + 1)² · 2x = 6x(x² + 1)².
2. Для v(x) = 2x − 5 получаем v'(x) = 2.
3. Тогда y' = 6x(x² + 1)²(2x − 5) + 2(x² + 1)³.
4. Выносим общий множитель 2(x² + 1)²: y' = 2(x² + 1)²[3x(2x − 5) + (x² + 1)].

Ответ: y' = 2(x² + 1)²(7x² − 15x + 1).

Типичные ошибки

Запись (uv)' = u'v' неверна: это произведение производных, а не правило для произведения функций. Ошибка возникает из-за желания продифференцировать оба множителя одновременно. Проверка проста: в правильной формуле должно быть два слагаемых — u'v и uv'.

В записи ([u(x)]ⁿ)' = n[u(x)]ⁿ⁻¹ часто забывают множитель u'(x). Так механически переносят формулу для xⁿ на составное основание. Найдите производную внутренней функции отдельно и убедитесь, что она присутствует в конце результата.

Иногда дифференцируют только один множитель, считая второй постоянным. Это допустимо лишь для числа, не зависящего от x, но не для другой функции. Проверьте каждый множитель: если в нём есть x, его вклад должен появиться в одном из слагаемых.

Неверное уменьшение показателя или потеря скобок меняют всю производную. Например, в [u(x)]ⁿ⁻¹ нужно уменьшить показатель именно у всей функции u(x), а не у отдельного её слагаемого. Полезно сначала обозначить основание буквой u, выполнить правило, а затем вернуть выражение.

Связь с другими темами

До этой темы нужны определение производной, правила дифференцирования суммы и постоянного множителя, а также производные элементарных функций. Без них нельзя корректно найти u'(x), v'(x) и завершить вычисление. Эти правила образуют основу дальнейшего дифференцирования.

Правила степени и произведения применяются при исследовании функций, построении касательных и решении задач на экстремумы. С их помощью находят промежутки возрастания и убывания и критические точки. Особенно часто они встречаются в сложных алгебраических и тригонометрических выражениях.

Дальше эти приёмы понадобятся при изучении производной частного, сложных функций и высших производных. Новые правила не отменяют уже известные, а соединяются с ними. Поэтому полезно сначала распознавать структуру выражения, а затем применять правила по очереди.

Что запомнить

• Производная степени функции равна произведению показателя степени, степени на единицу меньшей и производной основания.
• При дифференцировании [u(x)]ⁿ обязательно умножают результат на u'(x).
• Производная произведения равна сумме двух произведений.
• В первом слагаемом дифференцируют первый множитель, во втором — второй.
• Постоянный множитель выносится за знак производной.
• Сложное выражение разбирают по структуре и применяют правила последовательно.
• После дифференцирования полезно проверить скобки, множители и степень.