3. Дифференцирование дроби

Определения и обозначения

Дробью, или частным, называют функцию вида y = u(x)/v(x), где u(x) — числитель, а v(x) — знаменатель. Знаменатель не должен обращаться в нуль: v(x) ≠ 0. Это условие задаёт область определения функции и не позволяет выполнять деление на ноль.

Производная функции в точке — предел отношения изменения значения функции к изменению аргумента, когда изменение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную так: y', u'(x), v'(x) или dy/dx. Для дроби производная показывает мгновенную скорость изменения всего отношения, поэтому нельзя просто разделить производную числителя на производную знаменателя.

Правило дифференцирования дроби имеет вид: (u/v)' = (u'v − uv')/v², v ≠ 0. В числителе стоят два произведения, соединённые знаком минус, а в знаменателе — квадрат исходного знаменателя. Эта запись превращает работу со сложным частным в последовательность знакомых действий: найти u' и v', подставить их и упростить.

Как это устроено

Правило возникает из определения производной, если записать приращение частного и привести его к общему знаменателю. В разности u(x + Δx)/v(x + Δx) − u(x)/v(x) появляются изменения и числителя, и знаменателя. После группировки один множитель превращается в отношение приращения числителя к Δx, а другой — в отношение приращения знаменателя к Δx; при Δx → 0 они переходят в u' и v'.

Знак минус появляется не случайно: увеличение знаменателя при неизменном числителе уменьшает дробь. Например, для y = 1/x значение функции убывает, и формула даёт y' = −1/x². Если бы между произведениями стоял плюс, этот простой результат имел бы неверный знак.

Квадрат знаменателя нужен потому, что при приведении разности двух дробей к общему знаменателю перемножаются два значения знаменателя. В результате в пределе остаётся v(x)². Поэтому в окончательном ответе следует проверять не только числитель, но и наличие именно квадрата знаменателя.

Работу удобно выполнять по алгоритму. Сначала обозначьте числитель через u, знаменатель через v и выпишите ограничения v ≠ 0. Затем найдите u' и v', подставьте их в формулу, раскройте скобки и сократите только общие множители, не забывая, что область определения исходной функции сохраняется.

Сводная таблица правил

Таблицу используют после того, как распознали вид функции. Если выражение является дробью, применяют третью строку, а внутри неё отдельно дифференцируют числитель и знаменатель.

Иногда дробь можно предварительно преобразовать в сумму или вынести постоянный множитель. Тогда решение становится короче, но результат должен совпасть с ответом по правилу частного на всех допустимых значениях.

Разбор задач

Задача 1

Найти производную функции y = (x² + 1)/(x − 2). Сначала замечаем, что знаменатель обращается в нуль при x = 2, поэтому это значение исключается. Числитель и знаменатель являются многочленами, их производные находятся по обычным правилам.

1. Обозначим u = x² + 1 и v = x − 2. Тогда u' = 2x, v' = 1.
2. Применим правило частного: y' = (2x(x − 2) − (x² + 1)·1)/(x − 2)².
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 2x² − 4x − x² − 1 = x² − 4x − 1.
4. Получаем y' = (x² − 4x − 1)/(x − 2)², x ≠ 2.

Ответ: y' = (x² − 4x − 1)/(x − 2)², x ≠ 2. Смысл последнего условия в том, что производная рассматривается только там, где определена исходная функция.

Задача 2

Найти производную функции y = (3x + 1)/(x² + 4). Здесь знаменатель положителен для любого действительного x, потому что x² + 4 ≥ 4, поэтому дополнительных ограничений нет. Выбираем правило частного, так как числитель и знаменатель зависят от x.

1. Пусть u = 3x + 1, v = x² + 4. Тогда u' = 3, v' = 2x.
2. Подставим значения: y' = (3(x² + 4) − (3x + 1)·2x)/(x² + 4)².
3. Упростим числитель: 3x² + 12 − 6x² − 2x = −3x² − 2x + 12.

Ответ: y' = (−3x² − 2x + 12)/(x² + 4)². Проверка знака и степени знаменателя помогает заметить наиболее распространённые ошибки в таком вычислении.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Записывают (u/v)' = u'/v'. Так поступают по аналогии с некоторыми простыми правилами, но изменение знаменателя тоже влияет на результат. Проверка: примените формулу к y = 1/x — правильная производная равна −1/x², а не 0.

Ошибка 2. Забывают квадрат знаменателя или возводят в квадрат только его часть. Причина — невнимательная подстановка в формулу. Проверяйте себя вопросом: весь ли исходный знаменатель записан в скобках перед возведением в квадрат?

Ошибка 3. Меняют порядок слагаемых в числителе и получают uv' − u'v. Знак производной при этом меняется на противоположный. Сверяйте запись с фразой «производная числителя умножить на знаменатель минус числитель умножить на производную знаменателя».

Ошибка 4. Считают, что производная существует в точке, где исходный знаменатель равен нулю. Такое значение нельзя возвращать после упрощения, даже если оно исчезло из сокращённой записи. В начале и конце решения указывайте ограничения на x.

Связь с другими темами

Дифференцирование дроби использует правила производной суммы, произведения и постоянного множителя, поэтому уверенное владение ими сокращает вычисления. Полученная производная применяется при исследовании функции: по её знаку находят промежутки возрастания и убывания, а нули производной помогают искать критические точки.

Дробно-рациональные функции связаны с областью определения и преобразованием алгебраических выражений. После нахождения производной можно составлять уравнение касательной, используя формулу y − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀).

Что запомнить

• Для y = u/v правило имеет вид y' = (u'v − uv')/v².
• Знаменатель исходной дроби и знаменатель производной не равны нулю.
• В числителе сначала стоит u'v, затем вычитается uv'.
• Перед применением формулы найдите производные числителя и знаменателя отдельно.
• После вычислений раскройте скобки, приведите подобные слагаемые и проверьте область определения.