4. Вторая производная

Определения и обозначения

Вторая производная f''(x) — это производная от первой производной f'(x). Она существует в тех точках, где первая производная определена и сама имеет производную. Иначе говоря, функцию дифференцируют два раза последовательно.

Вторую производную записывают как f''(x), y'' или d²y/dx². Если y = f(x), все эти обозначения называют одной и той же величиной, просто используют разные способы записи. Такая форма особенно удобна в формулах и при переходе от одной переменной к другой.

Если s(t) — координата тела, то ускорение равно второй производной координаты по времени: a(t) = s''(t). Оно показывает, как быстро изменяется скорость: положительное ускорение обычно означает увеличение скорости в выбранном направлении, а отрицательное — её уменьшение или изменение направления.

Точка перегиба — точка графика, в которой меняется характер его выпуклости. Часто такая точка связана с условием f''(x₀) = 0 или с отсутствием второй производной, но одного этого условия недостаточно. Нужно проверить, меняется ли знак f'' при переходе через x₀.

Как это устроено

Вторая производная получается последовательным дифференцированием: сначала находят скорость изменения функции f'(x), затем скорость изменения этой производной f''(x). Поэтому f'(x) описывает наклон графика в каждой точке, а f''(x) — изменение этого наклона. Такой переход от функции к её производным помогает изучать не только значения, но и характер изменения графика.

Положительная вторая производная означает, что первая производная возрастает. Например, касательные становятся всё более крутыми в положительном направлении, поэтому график изгибается вверх. При отрицательной второй производной наклон касательных уменьшается, и график изгибается вниз.

Знак второй производной исследуют не в одной случайной точке, а на промежутках. Если f'' сохраняет положительный знак на промежутке, график имеет один характер выпуклости, а если отрицательный — другой. Для точки перегиба нужно отдельно проверить смену знака слева и справа от предполагаемой точки.

Вторая производная помогает исследовать стационарную точку, то есть точку x₀, где f'(x₀) = 0. Если дополнительно f''(x₀) > 0, наклон функции меняется от отрицательного к положительному и получается минимум; если f''(x₀) < 0, получается максимум. При f''(x₀) = 0 этот признак не срабатывает, поэтому нужны другие способы исследования.

В задачах о движении первая производная координаты задаёт скорость: v(t) = s'(t). Ещё одно дифференцирование показывает изменение скорости, поэтому a(t) = v'(t) = s''(t). Так по формуле координаты можно узнать не только положение тела, но и его скорость с ускорением.

Связь знака второй производной с поведением функции

Сначала находят f''(x), затем определяют её знак на каждом интересующем промежутке. По этому знаку делают вывод о том, возрастает или убывает f'(x), а значит, как меняется наклон касательных. В точках, где f''(x) = 0, обязательно проверяют соседние промежутки.

Разбор задач

Задача 1

Для функции f(x) = x³ − 3x + 1 найдём вторую производную и определим промежутки изгиба графика. Здесь достаточно дважды продифференцировать выражение, а затем исследовать знак результата.

1. Находим первую производную: f'(x) = 3x² − 3.
2. Дифференцируем ещё раз: f''(x) = 6x.
3. При x < 0 имеем f''(x) < 0, а при x > 0 — f''(x) > 0. В точке x = 0 вторая производная равна нулю, и знак меняется.

Ответ: f''(x) = 6x; на (−∞; 0) график изгибается вниз, на (0; +∞) — вверх. Точка с абсциссой 0 является точкой перегиба.

Задача 2

Исследуем экстремумы функции f(x) = x⁴ − 4x² с помощью второй производной. Сначала найдём стационарные точки, потому что знак f'' без условия f'(x₀) = 0 сам по себе не определяет максимум или минимум.

1. f'(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2), поэтому критические точки: x = 0, x = −√2 и x = √2.
2. f''(x) = 12x² − 8.
3. f''(0) = −8 < 0, значит, при x = 0 функция имеет максимум. Для x = ±√2 получаем f''(±√2) = 16 > 0, значит, в обеих точках находятся минимумы.

Ответ: максимум достигается при x = 0, минимумы — при x = −√2 и x = √2. Значения функции можно получить подстановкой найденных точек в исходную формулу.

Задача 3

Тело движется по закону s(t) = t³ − 6t² + 9t. Требуется найти скорость и ускорение при t = 2, а также моменты экстремума скорости. Сначала выразим скорость, затем воспользуемся второй производной как её производной.

1. Скорость: v(t) = s'(t) = 3t² − 12t + 9. Ускорение: a(t) = s''(t) = 6t − 12.
2. При t = 2: v(2) = 12 − 24 + 9 = −3, а a(2) = 12 − 12 = 0.
3. Экстремум скорости ищем из условия v'(t) = a(t) = 0: 6t − 12 = 0, откуда t = 2. Так как v''(t) = 6 > 0, скорость имеет минимум.

Ответ: при t = 2 скорость равна −3, ускорение равно 0; скорость имеет минимум в момент t = 2.

Типичные ошибки

1. Считать f''(x) = 0 автоматическим перегибом. Такое равенство лишь указывает на кандидата, потому что знак второй производной может остаться одинаковым по обе стороны точки. Проверьте знаки f'' слева и справа.

2. Путать вторую производную с квадратом первой. Записи f''(x) и (f'(x))² означают разные действия: в первом случае выполняют новое дифференцирование, во втором возводят результат в квадрат. Полезно каждый раз проговаривать действие словами.

3. Делать вывод об экстремуме только по f''. Знак второй производной классифицирует стационарную точку, но сначала нужно убедиться, что f'(x₀) = 0. Если это условие не выполнено, вывод о максимуме или минимуме неверен.

4. Забывать область определения. При двойном дифференцировании могут появиться ограничения, а знак f'' исследуют только там, где функция и производная существуют. Выпишите область определения до вычислений и не включайте запрещённые значения в промежутки.

Связь с другими темами

Для изучения второй производной нужны определение производной, правила дифференцирования, критические точки и признаки экстремума. Тема продолжает исследование функции: с её помощью находят промежутки выпуклости и точки перегиба. В физике вторая производная координаты даёт ускорение, а в задачах оптимизации помогает распознавать максимум и минимум.

Что запомнить

• Вторая производная — это производная от первой производной.
• Основные обозначения: f''(x), y'', d²y/dx².
• При f''(x) > 0 первая производная возрастает.
• При f''(x) < 0 первая производная убывает.
• Для точки перегиба нужна смена характера выпуклости, а не только условие f''(x) = 0.
• Если f'(x₀) = 0 и f''(x₀) > 0, то в точке возможен минимум.
• Если f'(x₀) = 0 и f''(x₀) < 0, то в точке возможен максимум.