§ 3. Приложения производной

Определения и обозначения

Возрастание функции — промежуток, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂). На таком промежутке обычно f'(x) > 0, поэтому знак производной помогает быстро определить поведение графика.

Убывание функции — промежуток, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При x₁ < x₂ выполняется f(x₁) > f(x₂). Отрицательная производная показывает, что график движется вниз слева направо.

Точка экстремума — внутренняя точка области определения, в которой функция имеет локальный максимум или минимум. В максимуме близкие значения функции не больше значения в точке, а в минимуме — не меньше. Экстремумы нужны, чтобы находить места резкого изменения поведения функции.

Критическая точка — точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки являются кандидатами на экстремумы, но требуют проверки. Именно ими обычно разделяют область определения на промежутки для исследования знаков производной.

Как это устроено

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику. Положительный коэффициент означает наклон вверх слева направо, поэтому функция в окрестности точки возрастает; отрицательный означает наклон вниз и убывание. Чтобы сделать вывод не об одной точке, а о промежутке, знак производной должен сохраняться на всём этом промежутке.

Сначала находят область определения функции и вычисляют производную. Затем решают уравнение f'(x) = 0 и отдельно отмечают точки области определения, где производная не существует. Эти числа разбивают область на промежутки, после чего на каждом промежутке определяют знак производной, например подстановкой одного удобного числа.

Если при движении слева направо производная меняет знак с плюса на минус, график сначала поднимается, а затем опускается. Поэтому в точке перехода функция достигает локального максимума. При смене знака с минуса на плюс график сначала опускается, а затем поднимается, и точка является локальным минимумом.

Условие f'(x) = 0 само по себе недостаточно для экстремума. Производная функции f(x) = x³ равна 3x² и обращается в ноль при x = 0, но знак производной по обе стороны остаётся положительным. Поэтому после нахождения нулей производной обязательно проверяют её знаки слева и справа от каждой точки.

На отрезке [a; b] непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений. Для поиска этих значений находят критические точки внутри отрезка, вычисляют f в них и отдельно считают f(a) и f(b). Причина проверки концов проста: экстремум на заданном отрезке может находиться не внутри, а на его границе.

Применение производной к исследованию функции

Таблицей пользуются как кратким алгоритмом: сначала находят критические точки, затем определяют знак производной на промежутках. Для экстремумов важна именно смена знака, а для значений на отрезке — полный список точек сравнения.

Разбор задач

1. Монотонность и экстремумы

Условие: исследовать функцию f(x) = x³ − 3x на промежутках монотонности и найти точки экстремума.

1. Область определения — все действительные числа. Производная f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), поэтому критические точки: x = −1 и x = 1.
2. Знаки производной на промежутках такие: «+» при x < −1, «−» при −1 < x < 1 и «+» при x > 1. Значит, функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), а убывает на (−1; 1).
3. Знак меняется с плюса на минус в точке −1, значит, это максимум: f(−1) = 2. В точке 1 происходит смена с минуса на плюс, поэтому минимум равен f(1) = −2.

Ответ: возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1); максимум в точке (−1; 2), минимум в точке (1; −2).

2. Значения на отрезке

Условие: найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 на [0; 4].

1. Вычисляем производную: f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Критические точки x = 1 и x = 3 обе принадлежат отрезку.
2. Считаем значения во всех нужных точках: f(0) = 1, f(1) = 5, f(3) = 1, f(4) = 5. Ни одну из этих точек нельзя исключать заранее.
3. Сравнение показывает: наибольшее значение равно 5 и достигается при x = 1 и x = 4, наименьшее равно 1 и достигается при x = 0 и x = 3.

Ответ: max f(x) = 5, min f(x) = 1 на отрезке [0; 4].

3. Исследование с параметром

Условие: определить, как параметр a влияет на экстремумы функции f(x) = x³ − 3ax² + 3x.

1. Производная равна f'(x) = 3x² − 6ax + 3 = 3(x² − 2ax + 1). Корни находятся по формуле x = a ± √(a² − 1), поэтому действительны только при |a| ≥ 1.
2. При |a| < 1 производная положительна для всех x, и функция возрастает без экстремумов. При |a| = 1 корень двойной: знак производной не меняется, поэтому экстремума также нет.
3. При |a| > 1 есть два корня. Знак производной меняется с плюса на минус в точке a − √(a² − 1), там максимум, а в точке a + √(a² − 1) — минимум.

Ответ: два экстремума появляются только при |a| > 1; их абсциссы равны a − √(a² − 1) и a + √(a² − 1).

Типичные ошибки

Любая точка, где f'(x) = 0, считается экстремумом. Так делают, потому что нулевая производная часто встречается в задачах на максимум и минимум. Но она лишь указывает на кандидата, поэтому нужно проверить смену знака производной слева и справа.

Вывод о возрастании делают по знаку производной в одной точке. Одно положительное значение показывает поведение только локально и не описывает весь промежуток. Разбейте область определения критическими точками и проверьте знак на каждом получившемся промежутке.

При поиске значения на отрезке забывают его концы. Критические точки внутри отрезка не всегда дают самый большой или самый маленький результат. Самопроверка проста: в итоговом списке должны быть обе границы a и b.

Не учитывают точки, где производная не существует. Например, у графика с изломом производной в вершине может не быть, хотя там расположен минимум или максимум. Проверьте область определения и добавьте в список все её точки, где формула производной неприменима.

Связь с другими темами

Для работы нужны производные элементарных функций и правила дифференцирования. Также пригодятся область определения, решение уравнений и неравенств, знаки выражений и понятие касательной. Таблица знаков помогает оформить исследование последовательно.

Приложения производной связаны с построением графиков, исследованием уравнений и неравенств. Те же идеи используют в задачах на оптимизацию, где требуется выбрать наибольшее или наименьшее значение величины.

Что запомнить

• Если f'(x) > 0 на промежутке, функция на нём возрастает.
• Если f'(x) < 0 на промежутке, функция на нём убывает.
• Критические точки получают из условия f'(x) = 0 и из точек, где производная не существует.
• Максимум соответствует смене знака производной с плюса на минус.
• Минимум соответствует смене знака производной с минуса на плюс.
• Для поиска экстремумов на отрезке нужно учитывать критические точки и оба конца отрезка.