1. Производная и экстремумы

Определения и обозначения

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента: f′(x) = lim Δx→0 Δf/Δx. Она показывает мгновенную скорость изменения функции, то есть насколько быстро меняется y при малом изменении x. Производную также обозначают y′; по ней исследуют поведение графика.

Экстремум функции — её локальное значение, которое в некоторой окрестности является наибольшим или наименьшим. Локальный максимум означает, что рядом значения функции не больше найденного, а локальный минимум — что не меньше. Это понятие нужно, чтобы находить характерные вершины и впадины графика.

Точка экстремума — значение аргумента, в котором функция достигает локального максимума или минимума. Например, x=2 может быть точкой минимума, а число f(2) — значением минимума. Такое различие помогает не путать координату по оси x с высотой точки на графике.

Критическая точка — внутренняя точка области определения, где производная равна нулю или не существует. Именно в таких точках может измениться направление движения функции, поэтому их проверяют при поиске экстремумов. Однако критическая точка не обязательно является максимумом или минимумом.

Как это устроено

Производная связана с направлением движения графика. Если f′(x)>0, при увеличении x значения функции растут, поэтому график поднимается слева направо. Если f′(x)<0, значения уменьшаются, и график опускается.

Внутри области определения экстремум часто выглядит как место, где график перестаёт подниматься и начинает опускаться или наоборот. В гладкой точке это означает горизонтальную касательную, поэтому f′(x)=0. Но горизонтальная касательная возможна не только при экстремуме, а угловая точка может иметь экстремум без существующей производной.

Сначала вычисляют производную и решают уравнение f′(x)=0. Затем к найденным значениям добавляют точки, где производная не существует, но сама функция определена. После этого область разбивают критическими точками на промежутки и определяют знак производной на каждом из них.

Знак слева «+», а справа «−» означает, что функция сначала возрастает, а затем убывает: в точке находится локальный максимум. Переход «−» в «+» означает сначала убывание, затем возрастание, то есть локальный минимум. Если знак не меняется, направление движения не меняется и экстремума нет.

Равенство f′(x)=0 является необходимым условием для гладкого внутреннего экстремума, но не достаточным. У функции f(x)=x³ производная f′(x)=3x² обращается в ноль при x=0, однако функция возрастает и слева, и справа. Поэтому после решения уравнения производной обязательно составляют проверку знаков.

Определение экстремума по знаку производной

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите критическую точку, а затем установите знаки производной на двух соседних промежутках. Сама величина производной в точке может быть равна нулю или не существовать: решающим является изменение знаков слева направо.

Разбор задач

Задача 1

Исследуем на возрастание и убывание функцию f(x)=x³−3x и найдём её экстремумы. Область определения — все действительные числа, поэтому проверять границы не нужно. Главная цель — определить знаки производной на промежутках.

1. Вычислим производную: f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). Уравнение f′(x)=0 даёт критические точки x=−1 и x=1.
2. Знак производной положителен при x<−1 и при x>1, а на промежутке −1<x<1 отрицателен. Значит, функция возрастает на (−∞;−1) и (1;+∞), убывает на (−1;1).
3. При x=−1 знак меняется с плюса на минус, поэтому это точка максимума. При x=1 знак меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Ответ: возрастает на (−∞;−1) и (1;+∞), убывает на (−1;1). Локальный максимум достигается при x=−1 и равен f(−1)=2, локальный минимум достигается при x=1 и равен f(1)=−2.

Задача 2

Найдём точки экстремума функции f(x)=x⁴−4x²+1 и значения функции в них. Производная равна f′(x)=4x³−8x=4x(x−√2)(x+√2). Поэтому критические точки: −√2, 0 и √2.

1. Знаки производной на промежутках: «−» при x<−√2, «+» при −√2<x<0, «−» при 0<x<√2 и «+» при x>√2. Смена «−» в «+» происходит в точках −√2 и √2, а «+» в «−» — в точке 0.
2. Следовательно, x=−√2 и x=√2 — точки минимумов, а x=0 — точка максимума. Теперь подставим эти абсциссы в исходную функцию.
3. Получаем f(−√2)=f(√2)=−3, а f(0)=1. Так определены и точки экстремума, и соответствующие значения функции.

Ответ: минимумы в x=±√2 со значением −3; максимум в x=0 со значением 1.

Задача 3

Исследуем f(x)=|x−2|. В точке x=2 производная не существует, потому что график имеет угловую вершину. Функция определена в этой точке, значит, x=2 нужно включить в список критических точек.

1. При x<2 имеем f(x)=2−x и f′(x)=−1, а при x>2 имеем f(x)=x−2 и f′(x)=1. Слева производная отрицательна, справа положительна.
2. Знак меняется с минуса на плюс, поэтому функция сначала убывает, затем возрастает. Следовательно, x=2 — точка локального минимума.
3. Значение минимума равно f(2)=0. Этот пример показывает, что экстремум возможен и без производной в самой точке.

Ответ: функция имеет минимум в точке x=2, минимальное значение равно 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую точку, где f′(x)=0, экстремумом. Её допускают, потому что запоминают необходимое условие и не проверяют поведение функции. Проверьте знаки производной по обе стороны точки: без их смены экстремума нет.

Ошибка: искать только решения уравнения f′(x)=0. Так пропускают угловые точки, где производная не существует, хотя функция может иметь минимум или максимум. После вычисления производной отдельно проверьте точки её недифференцируемости.

Ошибка: называть значением экстремума координату x. Причина — смешение абсциссы точки и значения функции. Записывайте отдельно: точка экстремума x₀, значение экстремума f(x₀).

Ошибка: определять максимум или минимум по знаку производной только в самой точке. Производная в точке может быть нулевой или не существовать, поэтому её одиночный знак ничего не решает. Сравните знаки на левом и правом промежутках.

Связь с другими темами

Для работы с производной нужны понятия функции, области определения, возрастания и убывания. Также необходимо владеть правилами вычисления производных, чтобы быстро находить критические точки. Без этих навыков таблица знаков будет неполной.

Экстремумы являются частью полного исследования функции. Вместе с областью определения, нулями, промежутками монотонности и другими свойствами они помогают построить точный график.

Поиск экстремумов применяется в задачах на наибольшее и наименьшее значение. В задачах оптимизации производная помогает выбрать размеры или параметры, при которых расход минимален, а результат максимален.

Что запомнить

• Производная показывает скорость изменения функции.
• Если f′(x)>0, функция возрастает; если f′(x)<0, функция убывает.
• Внутренняя точка экстремума является критической.
• Равенство f′(x)=0 само по себе не гарантирует экстремум.
• Максимум соответствует смене знака производной с плюса на минус.
• Минимум соответствует смене знака производной с минуса на плюс.