2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на отрезке — число f(x₀), которое не меньше любого значения f(x) при x ∈ [a; b]. Оно показывает самый высокий результат функции на всём рассматриваемом промежутке. Точка x₀ называется точкой достижения наибольшего значения.

Наименьшее значение функции на отрезке — число f(x₀), которое не больше любого значения f(x) при x ∈ [a; b]. Это самый маленький результат функции на данном отрезке. Искомое число не следует путать с аргументом x₀, в котором оно получено.

Критическая точка — внутренняя точка отрезка, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки могут соответствовать максимуму, минимуму или вообще не быть экстремумами. Поэтому их не объявляют ответом сразу, а только включают в список кандидатов.

Отрезок определения — множество значений аргумента [a; b], на котором ищут экстремальные значения функции. Обозначения a и b задают левую и правую границы поиска. При работе с дробями и корнями сначала проверяют, определена ли функция на всём этом отрезке.

Как это устроено

Непрерывная функция на замкнутом отрезке обязательно достигает наибольшего и наименьшего значений. Геометрически её график на участке от a до b не имеет разрывов, поэтому у него есть самая высокая и самая низкая точки. Это утверждение гарантирует существование ответа, но само по себе ещё не показывает, где именно его искать.

Если максимум или минимум находится внутри отрезка и функция в этой точке имеет производную, касательная к графику становится горизонтальной. Поэтому в точке внутреннего экстремума выполняется условие f′(x) = 0. Однако это условие только необходимое: например, у функции y = x³ производная равна нулю при x = 0, но максимума или минимума там нет.

Внутренний экстремум может возникнуть и там, где производная не существует. Так бывает у графика с углом, как у функции |x − 1| в точке x = 1. Производная слева и справа ведёт себя по-разному, но сама функция может иметь в этой точке минимум или максимум, поэтому такие места нельзя пропускать.

Концы отрезка проверяют отдельно, потому что рядом с ними функция рассматривается только с одной стороны. Условие горизонтальной касательной для граничной точки не требуется. Например, возрастающая на всём отрезке функция достигает наибольшего значения в правом конце, хотя её производная там может быть положительной.

После поиска критических точек и концов получается конечный список кандидатов. Значения функции в них сравнивают между собой: самое большое является наибольшим значением, а самое маленькое — наименьшим. Только такое сравнение позволяет найти глобальный результат на всём отрезке, а не случайный локальный экстремум.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Таблицу удобно использовать как последовательный план решения. Нельзя переходить к сравнению, пока не проверены область определения и все виды кандидатов. В конце в ответ записывают не только экстремальные значения, но и точки, в которых они достигаются, если это требуется.

Разбор задач

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 5]. Это многочлен, поэтому он непрерывен на всём отрезке. Нужно найти критическую точку параболы и сравнить три значения.

1. Находим производную: f′(x) = 2x − 4. Уравнение 2x − 4 = 0 даёт x = 2, и эта точка принадлежит отрезку.
2. Добавляем концы: x = 0 и x = 5. Вычисляем f(0) = 1, f(2) = 4 − 8 + 1 = −3, f(5) = 25 − 20 + 1 = 6.
3. Сравниваем результаты. Самое маленькое число −3, а самое большое число 6.

Ответ: наименьшее значение −3 достигается при x = 2; наибольшее значение 6 достигается при x = 5.

Задача 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x + 4/x на отрезке [1; 5]. Знаменатель не обращается в ноль на этом отрезке, поэтому функция непрерывна здесь. Область определения нужно учитывать до дифференцирования.

1. Находим производную: f′(x) = 1 − 4/x². Решаем 1 − 4/x² = 0, откуда x² = 4 и x = 2 или x = −2; в отрезок входит только x = 2.
2. Проверяем кандидатов 1, 2 и 5: f(1) = 5, f(2) = 4, f(5) = 29/5.
3. Сравнение показывает, что 4 — минимум, а 29/5 — максимум. Значение в правом конце оказалось больше, чем в критической точке.

Ответ: наименьшее значение 4 при x = 2; наибольшее значение 29/5 при x = 5.

Задача 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = |x − 1| + x/2 на отрезке [0; 3]. Модуль меняет формулу в точке x = 1, поэтому там производная не существует. Эту точку нужно проверить наравне с концами отрезка.

1. Разбиваем функцию: при x < 1 получаем f(x) = 1 − x/2, а при x ≥ 1 — f(x) = 3x/2 − 1. В точке x = 1 производные слева и справа различаются, значит, это критическая точка.
2. Считаем значения: f(0) = 1, f(1) = 1/2, f(3) = 7/2. Список кандидатов состоит из x = 0, 1 и 3.
3. Сравниваем числа: минимально 1/2, максимально 7/2. Точка, где производная не существует, действительно дала минимум.

Ответ: наименьшее значение 1/2 достигается при x = 1; наибольшее значение 7/2 достигается при x = 3.

Типичные ошибки

Проверяют только нули производной. При этом забывают концы отрезка, хотя максимум или минимум может находиться на границе. Проверка: в итоговом списке должны присутствовать и x = a, и x = b.

Объявляют любой нуль производной экстремумом. Равенство f′(x) = 0 лишь добавляет точку в список кандидатов, но не доказывает максимум или минимум. Проверка: вычислите значения функции во всех кандидатах и сравните их.

Не рассматривают точки отсутствия производной. Угловая точка или другая особенность может быть местом экстремума. Проверка: выясните, где формула функции меняется, а также где производная не определена.

Путают точку экстремума и значение экстремума. Число x₀ — это аргумент, а число f(x₀) — результат функции. Проверка: в ответе подписывайте отдельно, при каком x достигается значение и чему оно равно.

Связь с другими темами

Для решения нужны производная, правила её вычисления и понятие критической точки. Признаки возрастания и убывания помогают понять поведение функции между найденными точками. Непрерывность объясняет, почему экстремумы существуют на замкнутом отрезке.

Этот алгоритм продолжает исследование функций и помогает строить их графики. Он также применяется в задачах на оптимизацию: поиск наибольшей площади, минимального расхода или максимальной прибыли. В каждом случае сначала составляют функцию и задают отрезок допустимых значений.

Что запомнить

• Непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений.
• Для поиска экстремальных значений проверяют критические точки внутри отрезка и оба его конца.
• Внутренняя точка экстремума при существовании производной удовлетворяет условию f′(x) = 0.
• Точки, где производная не существует, также могут быть кандидатами на экстремум.
• Найденные значения функции нужно обязательно сравнить.
• Наибольшее и наименьшее значения — это числа, а точки их достижения — значения аргумента.