"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Теорема Лагранжа связывает изменение функции на всём отрезке с её производной в одной внутренней точке. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, найдётся точка, где производная равна угловому коэффициенту секущей. Теорема объясняет критерии постоянства, возрастания и убывания функций, помогает оценивать приращения и доказывать неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Лагранжа утверждает: если f непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b), то существует c ∈ (a; b), для которого f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). Правая часть — угловой коэффициент секущей, поэтому теорема связывает общий ход графика с производной в одной точке.
Формула конечных приращений — запись той же теоремы в виде f(b) − f(a) = f′(c)(b − a). Приращение аргумента равно b − a, а приращение функции — f(b) − f(a). Формула нужна, чтобы оценивать изменение функции через известные свойства производной.
Теорема Ролля — частный случай теоремы Лагранжа, когда f(a) = f(b). Тогда числитель дроби равен нулю, поэтому в некоторой внутренней точке f′(c) = 0. Она особенно полезна для поиска точки с горизонтальной касательной.
Монотонность функции по знаку производной означает связь между направлением изменения функции и знаком f′. Если производная положительна на промежутке, функция возрастает, а если отрицательна — убывает. Это позволяет исследовать поведение функции без сравнения каждой пары её значений.
Для применения теоремы нужны непрерывность на всём отрезке [a; b] и дифференцируемость во всех его внутренних точках. Непрерывность не даёт графику разрываться или перескакивать, а дифференцируемость обеспечивает существование касательной внутри отрезка. Без любого из этих условий точка с требуемой производной может не существовать.
Секущая соединяет точки графика с абсциссами a и b, поэтому её угловой коэффициент равен (f(b) − f(a))/(b − a). Теорема говорит, что где-то между a и b касательная имеет такой же наклон. Значит, мгновенная скорость изменения функции в точке c совпадает со средней скоростью изменения на всём отрезке.
Доказательство сводят к теореме Ролля, вычитая из f(x) линейную функцию, график которой является секущей. Пусть g(x) = f(x) − f(a) − ((f(b) − f(a))/(b − a))(x − a). У неё g(a) = g(b), поэтому по теореме Ролля найдётся c с g′(c) = 0; раскрытие производной сразу даёт формулу Лагранжа.
Формула конечных приращений позволяет заменить разность значений функции произведением производной в некоторой точке на длину отрезка. Если |f′(x)| ≤ M, то |f(b) − f(a)| = |f′(c)||b − a| ≤ M|b − a|. Так получают оценки погрешности, доказывают липшицевость и сравнивают изменения разных функций.
Из теоремы следуют важные признаки поведения функции. При f′ = 0 на связном промежутке любые два значения равны, поэтому функция постоянна; при f′ > 0 или f′ < 0 разность значений получает соответствующий знак. Наконец, оценив производную на удобном отрезке, можно строго доказывать неравенства.
| Утверждение | Условия | Вывод | Практическое применение |
|---|---|---|---|
| Теорема Ролля | f непрерывна на [a; b], дифференцируема на (a; b), f(a) = f(b) | Существует c ∈ (a; b): f′(c) = 0 | Поиск точки с горизонтальной касательной |
| Теорема Лагранжа | f непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b) | f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a) | Связь среднего и мгновенного изменения |
| Формула конечных приращений | Выполнены условия теоремы Лагранжа | f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) | Расчёт и оценка приращения |
| Нулевая производная на промежутке | f′(x) = 0 на связном промежутке | f постоянна | Доказательство равенства значений |
| Положительная производная на промежутке | f′(x) > 0 | f возрастает | Исследование монотонности |
| Отрицательная производная на промежутке | f′(x) < 0 | f убывает | Исследование монотонности |
| Оценка приращения функции | |f′(x)| ≤ M | |f(b) − f(a)| ≤ M|b − a| | Оценка погрешности и доказательство неравенств |
Сначала найдите строку, соответствующую нужному условию, а затем проверьте, выполнены ли требования в её втором столбце. Третий столбец подсказывает математический вывод, а последний — типичные задачи, где он применяется.
Если требуется доказать монотонность или оценить разность значений, удобнее двигаться от производной к нужному следствию. Для поиска конкретной точки используйте непосредственно равенство из теоремы Лагранжа.
Условие: найти точку c, существование которой гарантирует теорема Лагранжа. Функция многочлен, значит, она непрерывна и дифференцируема на требуемых множествах.
Ответ: c = 2.
Условие: доказать |sin b − sin a| ≤ |b − a| для любых a и b. Если b < a, поменяем их местами, поэтому достаточно считать a < b.
Ответ: неравенство доказано; синус является липшицевой функцией с константой 1.
Условие: доказать при x > 0, что 1/(1 + x) < ln(1 + x) < x. Рассмотрим f(t) = ln t на отрезке [1; 1 + x].
Ответ: из теоремы Лагранжа непосредственно следует x/(1 + x) < ln(1 + x) < x. Записанное в условии неравенство 1/(1 + x) < ln(1 + x) верно не при каждом x > 0, поэтому в таком виде задача требует уточнения.
Применяют теорему, не проверив непрерывность на всём отрезке и дифференцируемость внутри него. Так поступают, потому что вид функции кажется знакомым, но разрыв или недопустимая точка меняют ситуацию. Проверьте область определения и отдельно концы и внутренние точки отрезка.
Путают f′(c) с постоянным угловым коэффициентом всей функции. Производная равна наклону секущей только в одной гарантированной точке c, а не при всех x. После решения спросите себя, где именно находится c и зависит ли производная от x.
Записывают c = a или c = b. По теореме точка лежит строго внутри интервала (a; b), поскольку производная рассматривается во внутренней точке. Проверьте двойное неравенство a < c < b.
Считают, что нулевая производная означает постоянство на любой области. Теорема сравнивает точки одного связного промежутка, а на разрозненной области значения могут отличаться. Сначала убедитесь, что выбранный промежуток не распадается.
До теоремы Лагранжа нужны производная, касательная, непрерывность и теорема Ролля. Ролль фактически служит основным инструментом её доказательства.
Тема продолжает исследование монотонности функций: знак производной превращается в строгий вывод о возрастании или убывании. Это дополняет таблицу знаков и исследование критических точек.
Теорема применяется при доказательстве неравенств, оценке погрешностей и изучении функций. Она также объясняет, почему ограниченность производной ограничивает скорость изменения самой функции.
Почему в теореме Лагранжа точка c обязательно находится внутри отрезка?
Производная определяется как предел отношения приращений в окрестности внутренней точки. На концах отрезка обычно нельзя рассматривать двустороннее приближение, поэтому теорема гарантирует c ∈ (a; b).
Можно ли применять теорему, если функция не дифференцируема в одной внутренней точке?
Нет, стандартные условия теоремы нарушены. Например, у функции может существовать угол или вертикальная касательная, и тогда нужного значения производной теорема не гарантирует.
Чем теорема Ролля отличается от теоремы Лагранжа?
Теорема Ролля требует, чтобы значения функции на концах отрезка совпадали: f(a) = f(b). Тогда секущая горизонтальна, и существует c, для которого f′(c) = 0. Это частный случай теоремы Лагранжа.
Как по теореме Лагранжа доказать, что функция постоянна?
Берут любые две точки a и b промежутка и применяют теорему Лагранжа к отрезку между ними. Если f′(x) = 0, то f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) = 0, значит, значения функции совпадают.
Как использовать теорему Лагранжа для доказательства неравенства?
Теорема представляет разность f(b) − f(a) как f′(c)(b − a). Затем производную в точке c заменяют подходящими верхней или нижней оценкой и получают нужное неравенство.
3. Теорема Лагранжа и ее следствия
