4. Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточное условие экстремума

Определения и обозначения

Возрастающая функция на промежутке — это функция, для которой из x₁ < x₂ следует f(x₁) < f(x₂). При движении вправо по оси x значения функции увеличиваются. Такое определение позволяет описывать поведение графика без построения всех его точек.

Убывающая функция на промежутке удовлетворяет условию: если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂). Значит, при увеличении аргумента значения функции уменьшаются. Эти два понятия называют монотонностью функции.

Точка экстремума — точка локального максимума или локального минимума. В локальном максимуме значение функции больше близких значений, а в локальном минимуме — меньше их. Наибольшее и наименьшее значения сравнивают уже со всеми значениями функции на заданной области.

Достаточное условие экстремума связывает смену знака производной с поворотом графика. Если производная меняет знак с плюса на минус, функция переходит от возрастания к убыванию и имеет локальный максимум. При смене с минуса на плюс получается локальный минимум.

Как это устроено

Производная показывает скорость изменения функции, поэтому её знак связан с направлением движения графика. При f'(x) > 0 небольшое увеличение x приводит к увеличению f(x), а при f'(x) < 0 значение функции уменьшается. Поэтому знак производной позволяет исследовать поведение функции без непосредственного сравнения любых двух её значений.

Для вывода о возрастании или убывании нужен знак производной на всём интервале. Положительное значение f'(x₀) в одной точке описывает только поведение около этой точки и ничего не говорит о другой части интервала. Если же производная положительна в каждой точке интервала, функция последовательно возрастает на всём нём.

Сначала находят область определения функции и производную. Затем отмечают точки, где f'(x) = 0 или производная не существует; вместе с точками разрыва они делят область на интервалы. На каждом интервале определяют знак производной, часто подставляя одно удобное число, и по знакам записывают промежутки возрастания и убывания.

Равенство f'(x₀) = 0 ещё не означает экстремум, потому что график может продолжать идти в одном направлении. Например, у функции y = x³ производная равна нулю при x = 0, но функция возрастает и слева, и справа. Поэтому после нахождения критической точки обязательно сравнивают знаки производной по обе стороны от неё.

Достаточное условие экстремума основано именно на таком сравнении. Переход «+ → −» означает, что график сначала поднимается, а затем опускается, поэтому в точке возникает локальный максимум. Переход «− → +» означает спуск и последующий подъём, то есть локальный минимум.

Связь знака производной с монотонностью и экстремумом

В таблице сначала находят строку, соответствующую знаку производной на каждом интервале. Для экстремума читают два соседних знака слева направо, учитывая направление увеличения x.

Разбор задач

Задача 1

Исследовать функцию f(x) = x³⁄3 − x и найти её точки экстремума. Область определения — все действительные числа, поэтому достаточно изучить знак производной. Критические точки разделят числовую прямую на три промежутка.

1. Найдём производную: f'(x) = x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Нули производной: x = −1 и x = 1.
2. Знаки f'(x): «+» на (−∞; −1), «−» на (−1; 1), «+» на (1; +∞). Значит, функция возрастает на первом и третьем промежутках, а убывает на среднем.
3. При x = −1 знак меняется с плюса на минус, поэтому это максимум; f(−1) = 2⁄3. При x = 1 знак меняется с минуса на плюс, поэтому это минимум; f(1) = −2⁄3.

Ответ: функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1); максимум (−1; 2⁄3), минимум (1; −2⁄3).

Задача 2

Исследовать f(x) = (x² + 1)⁄(x − 1). Сначала нужно исключить x = 1, потому что знаменатель обращается в ноль. Затем производная исследуется отдельно слева и справа от точки разрыва.

1. По правилу производной частного f'(x) = (x² − 2x − 1)⁄(x − 1)². Нули числителя: x = 1 − √2 и x = 1 + √2.
2. Знаменатель положителен при x ≠ 1, поэтому знак производной задаёт числитель. Функция возрастает на (−∞; 1 − √2) и (1 + √2; +∞), а убывает на (1 − √2; 1) и (1; 1 + √2).
3. В точке x = 1 − √2 знак меняется с плюса на минус, это максимум; в точке x = 1 + √2 — с минуса на плюс, это минимум. Точка x = 1 не относится к области определения.

Ответ: промежутки монотонности указаны выше; x = 1 − √2 — локальный максимум, x = 1 + √2 — локальный минимум.

Задача 3

Исследовать f(x) = x⁴ − 4x² + 1. Производная разлагается на множители, поэтому удобно расположить её нули на числовой прямой. Получатся четыре промежутка, на каждом из которых знак постоянен.

1. f'(x) = 4x(x² − 2) = 4x(x − √2)(x + √2). Критические точки: −√2, 0 и √2.
2. Знаки производной на промежутках (−∞; −√2), (−√2; 0), (0; √2), (√2; +∞): соответственно «−», «+», «−», «+».
3. В точках −√2 и √2 происходит переход «− → +», поэтому это минимумы: f(±√2) = −3. В точке 0 переход «+ → −», поэтому это максимум: f(0) = 1.

Ответ: функция убывает на (−∞; −√2) и (0; √2), возрастает на (−√2; 0) и (√2; +∞); минимумы при x = ±√2, максимум при x = 0.

Типичные ошибки

1. Выводят о возрастании по условию f'(x₀) > 0 в одной точке. Так нельзя, потому что на другом участке интервала знак производной может измениться. Проверяйте знак на всём интервале.

2. Любую точку с f'(x) = 0 считают экстремумом. Нулевая производная может не сопровождаться поворотом графика, как у y = x³. Сравните знаки производной слева и справа.

3. Забывают исключить точку, где функция не определена или производная не существует. Из-за этого получают неверные промежутки монотонности. Сначала выписывайте область определения, а затем расставляйте критические точки.

4. Путают переходы «+ → −» и «− → +». Первый означает подъём и спуск, то есть максимум, а второй — спуск и подъём, то есть минимум. Читайте таблицу слева направо.

Связь с другими темами

Для работы нужны определение производной, правила дифференцирования и способы исследования знака выражения. Тема продолжает исследование функции с помощью производной и опирается на область определения и критические точки.

Результаты применяют при построении графиков, поиске наибольших и наименьших значений. В прикладных задачах эти методы помогают находить оптимальные размеры, стоимость, скорость и другие величины.

Что запомнить

• Знак производной показывает направление изменения функции.
• Если f'(x) > 0 на интервале, функция на нём возрастает.
• Если f'(x) < 0 на интервале, функция на нём убывает.
• Критические точки получают из условий f'(x) = 0 или отсутствия производной.
• Для экстремума важна смена знака производной.
• Переход «+ → −» означает максимум, а переход «− → +» — минимум.
• Нулевая производная без смены знака не гарантирует экстремум.