5. Исследование графиков на выпуклость

Определения и обозначения

Выпуклость графика — характер расположения графика функции относительно хорд и касательных на заданном промежутке. Хорда соединяет две точки графика, а касательная касается графика в одной точке. Это понятие помогает описать форму графика не только по его виду, но и с помощью производных.

Выпуклость вниз означает, что при f''(x)>0 график лежит ниже своей хорды, а касательная располагается ниже графика. Такое название связано с направлением изгиба, а не с тем, возрастает функция или убывает. По этому признаку удобно исследовать форму графика на каждом промежутке.

Выпуклость вверх — случай, когда при f''(x)<0 график лежит выше своей хорды, а касательная располагается выше графика. Здесь наклон касательных постепенно уменьшается. Знак второй производной позволяет установить это свойство вычислением, даже если график заранее неизвестен.

Точка перегиба — точка графика, в которой изменяется направление выпуклости. Обычно это происходит при смене знака второй производной слева направо. Однако одного равенства f''(x)=0 недостаточно: функция должна быть определена в точке, а смена выпуклости должна быть подтверждена.

Как это устроено

Первая производная показывает наклон касательной в каждой точке графика. Если вторая производная положительна, значения первой производной увеличиваются: касательные становятся всё более наклонными вверх. Поэтому график изгибается так, что его хорда оказывается выше, а касательная — ниже него.

При f''(x)<0 первая производная убывает, значит, наклон касательных постепенно уменьшается. Касательные поворачиваются в сторону меньших углов наклона. В результате график располагается выше своей хорды, а касательная — выше самого графика.

Исследование начинают с области определения функции, потому что вне неё графика нет. Затем вычисляют вторую производную и находят значения x, где она равна нулю или не существует. Эти значения разделяют область определения на промежутки, на каждом из которых определяют знак f''(x).

Если на промежутке f''(x)>0, записывают, что график выпуклый вниз; если f''(x)<0 — выпуклый вверх. Знак второй производной не говорит, возрастает функция или убывает: это свойство устанавливают по первой производной. Поэтому при полном исследовании функции обе производные выполняют разные задачи.

Смена знака второй производной является необходимым признаком точки перегиба, поскольку без изменения направления изгиба перегиба нет. Но нужно проверить, что точка с найденной абсциссой принадлежит области определения и на самом деле лежит на графике. Если функция в этой точке не существует, назвать её точкой перегиба нельзя.

Исследование выпуклости графика по знаку второй производной

Сначала найдите строку со знаком второй производной на нужном промежутке, а затем перенесите соответствующий вывод в исследование. Последняя строка таблицы означает только возможность точки перегиба: отдельно проверяют область определения и смену знака слева и справа.

Разбор задач

Задача 1. Исследовать на выпуклость график функции y = x² − 4x + 1.

1. Область определения — все действительные числа, так как перед нами многочлен. Найдём производные: y' = 2x − 4, y'' = 2.
2. Вторая производная положительна при любом x. Значит, знак не меняется и весь график имеет один вид выпуклости.
3. По критерию при y''>0 график выпуклый вниз на промежутке (−∞; +∞). Точки перегиба нет, потому что смены знака второй производной не происходит.

Ответ: график выпуклый вниз на всей области определения; точек перегиба нет.

Задача 2. Исследовать на выпуклость график функции y = x³ − 3x² + 2 и найти точку перегиба.

1. Функция определена на всей числовой прямой. Имеем y' = 3x² − 6x и y'' = 6x − 6 = 6(x − 1).
2. Вторая производная обращается в нуль при x = 1. При x<1 она отрицательна, а при x>1 положительна, поэтому направление выпуклости меняется.
3. Слева от 1 график выпуклый вверх, справа — выпуклый вниз. Ордината точки равна y(1) = 1 − 3 + 2 = 0, значит, точка перегиба имеет координаты (1; 0).

Ответ: график выпуклый вверх на (−∞; 1), выпуклый вниз на (1; +∞); точка перегиба — (1; 0).

Задача 3. Исследовать y = ln(x² + 1), найти точки перегиба и интервалы выпуклости.

1. Так как x² + 1>0 при любом x, область определения — R. Получаем y' = 2x/(x² + 1), а y'' = 2(1 − x²)/(x² + 1)².
2. Знаменатель положителен, поэтому знак второй производной определяется числителем 1 − x². Он положителен при −1<x<1 и отрицателен при x<−1 или x>1.
3. График выпуклый вниз на (−1; 1) и выпуклый вверх на (−∞; −1) и (1; +∞). Знак меняется в x = −1 и x = 1, а точки графика равны (−1; ln 2) и (1; ln 2).

Ответ: точки перегиба — (−1; ln 2) и (1; ln 2); выпуклость вверх на (−∞; −1) и (1; +∞), вниз на (−1; 1).

Типичные ошибки

Путаница названий. Форму параболы в быту легко связать с неверным термином. Сверяйте вывод со знаком второй производной и положением хорды.

Использование первой производной. Она показывает возрастание и убывание, но не выпуклость. Для изгиба обязательно вычисляйте f''(x).

Автоматическое объявление нуля перегибом. Равенство f''(x)=0 ещё не доказывает смену выпуклости. Проверьте знаки по обе стороны и вычислите ординату точки.

Игнорирование разрывов. Точки, где функция или вторая производная не существует, разделяют промежутки исследования. Сначала отмечайте их на числовой оси и не объединяйте интервалы без проверки.

Связь с другими темами

Для исследования выпуклости нужны производная, вторая производная, правила определения знака выражения и геометрический смысл касательной. Эти знания позволяют перейти от вычислений к описанию формы графика.

Выпуклость используется при полном исследовании функций и построении графиков. Она также помогает доказывать неравенства и решать задачи на наибольшее и наименьшее значение.

Что запомнить

• Выпуклость исследуют по знаку второй производной.
• При f''(x)>0 график выпуклый вниз.
• При f''(x)<0 график выпуклый вверх.
• Для исследования нужно учитывать область определения функции.
• Нуль второй производной не всегда является точкой перегиба.
• Точка перегиба возникает при смене направления выпуклости.
• Знак первой производной отвечает за монотонность, а знак второй — за выпуклость.