4. Дифференциал функции

Определения и обозначения

Дифференциал функции — главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента. Он показывает, как функция изменяется в первом, самом простом приближении. Поэтому дифференциал удобен для вычислений при небольших изменениях аргумента.

Дифференциал аргумента обозначают dx и определяют равенством dx = Δx. Иными словами, в рассматриваемой записи изменение независимой переменной называют её дифференциалом. Это позволяет записывать формулу изменения функции коротко и наглядно.

Дифференциал функции обозначают dy и вычисляют так: dy = f'(x)dx. Величина dy приближённо заменяет приращение функции Δy, когда dx мало. Такая замена лежит в основе приближённых вычислений.

Линейная часть приращения — выражение f'(x)Δx. Она прямо пропорциональна изменению аргумента и приближённо равна Δy. Именно её обозначают dy, так как при малом изменении аргумента нелинейная часть приращения становится значительно меньше.

Как это устроено

Для дифференцируемой функции справедливо равенство Δy = f'(x)Δx + o(Δx). Здесь o(Δx) — остаток, который при уменьшении Δx становится малым по сравнению с Δx. Так как dx = Δx, линейный член f'(x)Δx записывают как f'(x)dx и называют дифференциалом dy.

Дифференциал является линейным приближением, потому что зависит от dx только в первой степени. Точное приращение учитывает всю форму графика на отрезке от x до x + dx, а dy учитывает только наклон графика в начальной точке. Поэтому при малом изменении аргумента разница между Δy и dy невелика.

Геометрически производная f'(x) — угловой коэффициент касательной к графику. Если аргумент изменился на dx, то касательная поднялась или опустилась на величину dy = f'(x)dx. На самом графике функции соответствующее приращение равно Δy, поэтому dy и Δy близки, но не обязаны совпадать.

Запись dy = f'(x)dx сохраняет форму правил дифференцирования. Для суммы линейные части складываются, для произведения применяется правило произведения, а при замене переменной появляется дифференциал внутренней функции. Благодаря этому можно последовательно дифференцировать сложные выражения, не раскрывая их полностью.

Для приближённого вычисления выбирают близкое удобное число a и представляют x как a + Δx. Тогда f(x) ≈ f(a) + df, где df = f'(a)Δx. Величина следующего, отброшенного члена показывает источник погрешности, а чем меньше |Δx| и сильнее искривление графика, тем обычно точнее результат.

Основные формулы дифференциалов

В таблице u и v обозначают функции от x, а C — постоянную. Сначала можно разложить выражение на сумму, произведение или частное, затем применить соответствующее правило. Для сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, а затем умножают результат на дифференциал внутреннего выражения.

Разбор задач

Задача 1

Найдите дифференциал функции y = 3x⁴ − 5x² + 7. Нужно сначала получить производную, а затем умножить её на dx.

1. Дифференцируем слагаемые: y' = 12x³ − 10x, так как производная постоянного числа равна нулю.
2. Умножаем производную на дифференциал аргумента: dy = (12x³ − 10x)dx.

Ответ: dy = (12x³ − 10x)dx.

Задача 2

Вычислите приближённо √25,08, используя дифференциал. Число 25 выбрано потому, что его квадратный корень известен точно.

1. Берём f(x) = √x, a = 25 и Δx = 0,08. Тогда f(25) = 5.
2. Находим производную: f'(x) = 1/(2√x), поэтому f'(25) = 1/10.
3. Вычисляем дифференциал: dy ≈ f'(25)Δx = 0,08/10 = 0,008.
4. Добавляем его к известному значению: √25,08 ≈ 5 + 0,008 = 5,008.

Ответ: √25,08 ≈ 5,008.

Задача 3

Оцените абсолютную погрешность приближённого вычисления (1,02)⁵ с помощью дифференциала. В качестве базового значения удобно взять 1.

1. Пусть f(x) = x⁵, a = 1, Δx = 0,02. Тогда f(1) = 1.
2. Производная равна f'(x) = 5x⁴, значит f'(1) = 5.
3. Дифференциал df = 5 · 0,02 = 0,1, поэтому приближённо получаем 1,1.
4. Точное значение равно 1,02⁵ ≈ 1,1040808, а абсолютная погрешность приближения равна примерно 0,00408.

Ответ: приближённое значение 1,1; абсолютная погрешность примерно 0,0041.

Типичные ошибки

Путают dy с точным приращением Δy. Такая ошибка возникает потому, что при малом изменении они близки по значению. Проверка: вычислите отдельно f(x + Δx) − f(x) и f'(x)Δx — обычно результаты различаются.

Записывают dy = f'(x), забывая dx. Производная сама по себе показывает скорость изменения, а не изменение функции. Проверьте, что в формуле присутствует множитель dx = Δx.

Применяют формулу dy = f'(x)dx там, где функция или её производная не определена. В такой точке линейное приближение построить нельзя. Перед вычислением проверьте область определения функции и производной.

Для приближённого вычисления выбирают неудобное базовое значение. Тогда известное значение функции или производная могут оказаться сложными, а ошибка — заметной. Ищите ближайшее число, для которого значение функции легко найти точно.

Связь с другими темами

До изучения дифференциала нужны производная, приращение аргумента и приращение функции, а также правила дифференцирования. Без этих понятий невозможно записать формулу dy = f'(x)dx.

Дифференциал связывает алгебру с геометрией: он описывает касательную к графику. Также он применяется в приближённых вычислениях и оценке погрешностей.

Позже дифференциалы появятся в интегральном исчислении. В частности, они участвуют в заменах переменной и в записи формул интегрирования.

Что запомнить

• dx = Δx.
• dy = f'(x)dx.
• Дифференциал — линейная часть приращения функции.
• При малом dx величина dy приближённо равна Δy.
• Геометрически dy — приращение ординаты касательной.
• Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.
• Дифференциал произведения и сложной функции вычисляют по специальным правилам.