5. Производная и скорость

Определения и обозначения

Средняя скорость — отношение изменения координаты или пройденного пути ко времени движения на выбранном промежутке: vср = Δs/Δt. Она описывает движение целиком, не показывая, как тело двигалось внутри этого промежутка. Поэтому средняя скорость удобна для общей оценки пути или перемещения.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Её получают как предел средней скорости, когда промежуток времени уменьшается и приближается к нулю. Это позволяет описать движение не за несколько секунд, а именно в выбранный момент.

Производная функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: f′(x) = lim(Δx→0) (f(x + Δx) − f(x))/Δx. Она показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Производная нужна, чтобы находить мгновенную скорость и исследовать поведение графика.

Разностное отношение — выражение (f(x + Δx) − f(x))/Δx. Оно сравнивает, насколько изменилась функция, с изменением аргумента и приближает производную при малом Δx. Именно из предела разностных отношений складывается определение производной.

Как это устроено

Средняя скорость недостаточна, если нужно узнать движение в отдельный момент. Например, автомобиль мог часть пути ускоряться, а часть — тормозить, но одно число за весь маршрут этого не покажет. Средняя скорость сглаживает все изменения внутри промежутка и потому описывает только общий результат.

Чтобы приблизиться к мгновенной скорости, берут не весь путь, а очень короткий промежуток времени около нужного момента. Для него вычисляют среднюю скорость, затем ещё уменьшают промежуток и повторяют вычисление. Если получаемые значения стремятся к одному числу, это число и считают мгновенной скоростью.

В формуле средней скорости изменение координаты можно записать как s(t + Δt) − s(t), а промежуток времени — как Δt. Получается разностное отношение [s(t + Δt) − s(t)]/Δt. При Δt → 0 оно превращается в предел, поэтому производная является точным значением скорости в момент t, а не просто приближённой оценкой.

Геометрически отношение приращения функции к приращению аргумента задаёт наклон секущей — прямой, проходящей через две точки графика. Когда вторая точка приближается к первой, секущая приближается к касательной. Поэтому производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Если закон движения имеет вид s = s(t), аргументом является время, а значение функции — координата или путь. Производная s′(t) показывает, насколько быстро меняется эта координата в данный момент, то есть задаёт мгновенную скорость. Положительная производная означает движение в сторону возрастания координаты, отрицательная — в противоположную сторону.

Средняя и мгновенная скорость и их связь с производной

Сначала определите, о каком промежутке или моменте спрашивается в задаче. Затем выберите формулу: для целого интервала нужна средняя скорость, а для конкретного момента — предел или производная.

Геометрическую строку удобно использовать при работе с графиком: секущая относится к средней скорости, касательная — к мгновенной. Единицы измерения помогают проверить, имеет ли найденная величина смысл скорости.

Разбор задач

Задача 1. Тело прошло 120 м за 15 с. Нужно найти среднюю скорость. Поскольку дан весь путь и всё время движения, предельный переход не требуется.

1. Используем формулу vср = s/t.
2. Подставляем данные: vср = 120/15 = 8.
3. Записываем единицы: отношение метров к секундам даёт м/с.

Ответ: средняя скорость тела равна 8 м/с. Это значение характеризует весь пятнадцатисекундный промежуток.

Задача 2. Для функции s(t) = t² найдём скорость при t = 3 по определению производной. Обозначим приращение времени через Δt и сначала не будем считать его равным нулю.

1. Составляем разностное отношение: [s(3 + Δt) − s(3)]/Δt.
2. Подставляем функцию: [(3 + Δt)² − 3²]/Δt = [6Δt + (Δt)²]/Δt = 6 + Δt.
3. Переходим к пределу: v(3) = lim(Δt→0)(6 + Δt) = 6.

Ответ: скорость при t = 3 равна 6 единицам длины в единицу времени. Если t измеряется в секундах, а s — в метрах, ответ равен 6 м/с.

Задача 3. Точка движется по закону s(t) = t³ − 6t² + 9t. Найдём скорость при t = 2 и моменты покоя. Для этого сначала получим производную закона движения.

1. Дифференцируем: s′(t) = 3t² − 12t + 9.
2. Вычисляем скорость при t = 2: s′(2) = 12 − 24 + 9 = −3.
3. Для моментов покоя решаем 3t² − 12t + 9 = 0, или t² − 4t + 3 = 0. Отсюда (t − 1)(t − 3) = 0, поэтому t = 1 и t = 3.

Ответ: мгновенная скорость при t = 2 равна −3. Точка покоится в моменты t = 1 и t = 3, если эти значения входят в рассматриваемый промежуток времени.

Типичные ошибки

Среднюю скорость подменяют мгновенной, подставляя весь путь и всё время вместо малого промежутка. Так происходит, когда не замечают слова в данный момент. Проверьте себя: для мгновенной скорости должна появиться производная или предел при Δt → 0.

При вычислении производной сразу полагают Δx = 0. Это приводит к нулю в знаменателе, хотя исходное разностное отношение при Δx ≠ 0. Сначала сократите и упростите выражение, а ноль подставляйте только на шаге нахождения предела.

Производную функции путают с самой функцией и записывают s′(t) = s(t). Производная обычно имеет другую формулу и описывает скорость изменения, а не само значение величины. Проверить результат можно вычислением производной простого выражения, например (t²)′ = 2t.

Не учитывают единицы или называют производную скоростью без проверки аргумента. Производная координаты является скоростью только при аргументе-времени. Сверьте размерность: метры, делённые на секунды, должны дать м/с.

Связь с другими темами

Для работы с производной нужны функция, её приращение, предел и угловой коэффициент прямой. Эти понятия объясняют, как строится разностное отношение и почему его предел имеет геометрический смысл.

Производная используется при изучении касательной, исследовании функций и поиске экстремумов. В задачах на движение она позволяет находить скорость и моменты покоя по заданному закону.

Следующий шаг — ускорение. Оно определяется как производная скорости, поэтому при законе движения s(t) ускорение выражается второй производной s′′(t).

Что запомнить

• Средняя скорость равна отношению изменения пути к промежутку времени.
• Мгновенная скорость получается как предел средней скорости при уменьшении промежутка времени.
• Производная — предел разностного отношения.
• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику.
• Если s(t) — закон движения, то мгновенная скорость равна s′(t).
• Момент покоя определяется условием s′(t) = 0.
• Размерность производной закона движения по времени — единица скорости.